頻域分析及奈氏判據(jù)

• 頻域分析及奈氏判據(jù)
• • 1. 頻域分析
  • 2. 幅相頻率特性（Nyquist圖）
  • 3. 對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）
  • 4. 頻域穩(wěn)定判據(jù)
  • 5. 奈氏判據(jù)例題
  • 6. 再來奈氏判據(jù)
  • • 0型系統(tǒng)
    • I 型系統(tǒng)或 II 型系統(tǒng)
    • 簡(jiǎn)化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)
    • • 1. $\omega$ 由 $0$ 變化到 $+\infty$ 時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性 $G_K(j\omega )$
      • 2. 采用穿越的概念簡(jiǎn)化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計(jì)算
      • 3.半次穿越
      • 4. 型別 $\nu \ge 1$ 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 $G_K(j\omega )$ 曲線的處理

頻域分析及奈氏判據(jù)

1. 頻域分析

幅頻特性：幅值之比

相頻特性：相角之差

2. 幅相頻率特性（Nyquist圖）

From: 自動(dòng)控制原理（西北工業(yè)大學(xué) 盧京潮）-P33

3. 對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）

4. 頻域穩(wěn)定判據(jù)

From: 自動(dòng)控制原理（西北工業(yè)大學(xué) 盧京潮）-P40

From: 自動(dòng)控制原理（西北工業(yè)大學(xué) 盧京潮）-P42

5. 奈氏判據(jù)例題

例題：試根據(jù)奈奎斯特判據(jù)，判斷下表所示曲線對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，已知曲線（1）～（10）對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：

題號(hào)傳函

（1）	$$G(s)=\frac{K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)(T_{3}s+1)}$$
（2）	$$G(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}$$
（3）	$$G(s)=\frac{K}{s^2(T_s+1)}$$
（4）	$$G(s)=\frac{K(T_{1}s+1)}{s^2(T_{2}s+1)},(T_1>T_2)$$
（5）	$$G(s)=\frac{K}{s^3}$$
（6）	$$G(s)=\frac{K(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}{s^3}$$
（7）	$$G(s)=\frac{K(T_{5}s+1)(T_{6}s+1)}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)(T_{3}s+1)(T_{4}s+1)}$$
（8）	$$G(s)=\frac{K}{T_{1}s?1}(K>1)$$
（9）	$$G(s)=\frac{K}{T_{1}s?1}(K<1)$$
（10）	$$G(s)=\frac{K}{s(Ts?1)}$$

答案如下：

題號(hào)傳函$P$$N$$Z=P?2N$閉環(huán)穩(wěn)定性

（1）	$$G(s)=\frac{K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)(T_{3}s+1)}$$	0	-1	2	不穩(wěn)定
（2）	$$G(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}$$	0	0	0	穩(wěn)定
（3）	$$G(s)=\frac{K}{s^2(T_s+1)}$$
（4）	$$G(s)=\frac{K(T_{1}s+1)}{s^2(T_{2}s+1)},(T_1>T_2)$$
（5）	$$G(s)=\frac{K}{s^3}$$
（6）	$$G(s)=\frac{K(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}{s^3}$$
（7）	$$G(s)=\frac{K(T_{5}s+1)(T_{6}s+1)}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)(T_{3}s+1)(T_{4}s+1)}$$
（8）	$$G(s)=\frac{K}{T_{1}s?1}(K>1)$$
（9）	$$G(s)=\frac{K}{T_{1}s?1}(K<1)$$
（10）	$$G(s)=\frac{K}{s(Ts?1)}$$

From: 真開心！奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，我終于掌握了！

6. 再來奈氏判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有復(fù)實(shí)部，即都在 $s$ 復(fù)平面的左邊平面 (LHP)。

在時(shí)域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法是使用勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對(duì)于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時(shí)，也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對(duì)于一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時(shí)它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

除了勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一個(gè)常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)。

奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有：

根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；

能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（想對(duì)穩(wěn)定性）；

可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對(duì)系統(tǒng)的分析于設(shè)計(jì)；

基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

Nyquist判據(jù)的主要理論依據(jù)是復(fù)變函數(shù)理論中的Cauch（柯西）幅角定理。

0型系統(tǒng)

系統(tǒng)的開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為 $P$，在 $G(s)H(s)$ 平面上，當(dāng) $\omega$ 從 $?\infty$ 變化到 $+\infty$ 時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線 $G(j\omega )H(j\omega )$ 及其鏡像，順時(shí)針包圍 $(?1,j0)$ 點(diǎn)的次數(shù)為 $N$ 圈 $(N>0)$，若逆時(shí)針包圍則 $N<0$，封閉曲線繞 $(?1,j0$ 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) $360^{°}$ 即包圍一次，則系統(tǒng)的閉環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 $Z$，且滿足：$$Z=N+P$$

當(dāng) $Z=0$ 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；
當(dāng) $Z>0$ 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

注：系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不一定穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)不一定不穩(wěn)定。

I 型系統(tǒng)或 II 型系統(tǒng)

I 型系統(tǒng)：從正虛軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時(shí)針繞向負(fù)虛軸，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。需在 $G(s)H(s)$ 平面上補(bǔ)畫右半圓弧將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

II 型系統(tǒng)：從負(fù)實(shí)軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時(shí)針繞一周終止于負(fù)實(shí)軸方向，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的圓弧。需在 $G(s)H(s)$ 平面上補(bǔ)畫整圓將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖作如上處理后，穩(wěn)定判據(jù)與 0 型系統(tǒng)完全相同。

若系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) $(P=0)$，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：當(dāng) $\omega$ 從 $?\infty$ 變化到 $+\infty$ 時(shí)，在 $GH$ 平面上的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像，不包圍 $(?1,j0)$ 點(diǎn)，即 $N=0$，則 $Z=N+P=0$，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。

當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像通過 $(?1,j0)$ 點(diǎn)時(shí)，表明在 $s$ 平面虛軸上有閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。

簡(jiǎn)化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1. $\omega$ 由 $0$ 變化到 $+\infty$ 時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性 $G_K(j\omega )$

因?yàn)?$(0,+\infty )$ 與 $(0,?\infty )$ 的曲線完全關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則 $0$ 變到 $+\infty$ 時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性 $G_K(j\omega )$ 順時(shí)針包圍 $(?1,j0)$ 點(diǎn)的圈數(shù) $N^{\prime }$ 滿足：$$N^{\prime }=N/2$$

已知系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為 $P$，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為 $Z$（不包括虛軸上的極點(diǎn)）：$$Z=P+2N^{\prime }$$

2. 采用穿越的概念簡(jiǎn)化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計(jì)算

$\omega$ 由 $0$ 變化到 $+\infty$ 時(shí)開環(huán)頻率特性曲線要形成對(duì) $(?1,j0)$ 點(diǎn)的一次包圍，勢(shì)必穿越 $(?\infty ,?1)$ 區(qū)間一次。

開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿越 $(?\infty ,?1)$ 區(qū)間時(shí)，隨 $\omega$ 增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次 正穿越 $N_{+}^{\prime }$。反之，
開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針穿越 $(?\infty ,?1)$ 區(qū)間時(shí)，隨 $\omega$ 增加，頻率特性的相角值減小，稱為一次 負(fù)穿越 $N_{?}^{\prime }$。

頻率特性曲線包圍 $(?1,j0)$ 點(diǎn)的情況，就可以利用頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸 $(?\infty ,?1)$ 區(qū)間的正、負(fù)穿越來表達(dá)。

$\omega$ 由 $0$ 變到 $+\infty$ 時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性 $G_K(j\omega )$ 對(duì) $(?1,j0)$ 點(diǎn)的總包圍次數(shù)為 $$N^{\prime }=(N_{?}^{\prime }?N_{+}^{\prime })$$

利用正負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：$$Z=P+2(N_{?}^{\prime }?N_{+}^{\prime })$$

注：奈氏曲線在 $(?1,j0)$ 點(diǎn)以右負(fù)實(shí)軸上相位有變化不算穿越。

3.半次穿越

奈氏曲線始于或止于 $(?1,j0)$ 點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸，稱為一個(gè)半次穿越。

例題：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。$$G(s)H(s)=\frac{?3}{s+1}$$

答：由于曲線始于 $(?3,j0)$ 點(diǎn)，故順時(shí)針包圍 $(?1,j0)$ 點(diǎn)的次數(shù)為 1/2，$N_{?}^{\prime }=\frac{1}{2}$。由于開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為 $P=0$，故 $$Z=P+2(N_{?}^{\prime }?N_{+}^{\prime })=0+2(\frac{1}{2}?0)=1$$

閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。

例題：經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖如下所示，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

答：由于題意已告知時(shí)最小相位系統(tǒng)，而最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故可知 $P=0$，且型別為 $0$，故直接利用開環(huán)頻率特性 $G_K(j\omega )$ 的軌跡曲線判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由圖可知，奈氏曲線由 $\omega =0$ 到 $\omega =+\infty$ 先順時(shí)針穿越區(qū)間 $(?\infty ,?1)$ 一次，故 $N_{?}^{\prime }=1$，后逆時(shí)針穿越一次，故 $B_{+}^{\prime }=1$。因此，利用公式有 $$Z=P+2(N_{?}^{\prime }?N_{+}^{\prime })=0+2(1?1)=0$$

故由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4. 型別 $\nu \ge 1$ 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 $G_K(j\omega )$ 曲線的處理

在 $\omega =0$ 附近，幅相特性以 $\infty$ 為半徑，逆時(shí)針補(bǔ)畫 $\theta =\nu ?90^{°}$ 的圓弧，添加圓弧后相當(dāng)于得到新的開環(huán)頻率特性 $G_K(j\omega )$ 的曲線。

此圓弧與實(shí)軸或虛軸的交點(diǎn)相當(dāng)于新的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng) $\omega =0$，原有曲線的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 $\omega =0^{+}$。注意所指曲線仍為 $\omega$ 由 $0$ 變到 $+\infty$ 時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性 $G_K(j\omega )$。

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線作以上處理后，帶入簡(jiǎn)化奈氏穩(wěn)定判據(jù)即可，且系統(tǒng)在虛軸上的 $0$ 值開環(huán)極點(diǎn)作左極點(diǎn)處理。 $$Z=P+2(N_{?}^{\prime }?N_{+}^{\prime })$$

From: 自控19奈氏判據(jù)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】频域分析及奈氏判据的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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