【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第7章-几类特殊矩阵与特殊积
第7章-幾類特殊矩陣與特殊積
- 7.1 非負(fù)矩陣
- 7.1.1 非負(fù)矩陣與正矩陣
- 定理 7.1.3 (譜半徑的單調(diào)性)
- 定理 7.1.4 (佩龍 (Perron) 定理)
- 7.1.2 不可約非負(fù)矩陣
- 定義 7.1.2 (可約與不可約矩陣)
- 定理 7.1.9 (佩龍-弗羅貝尼烏斯 (Perron-Frobenius) 定理)
- 7.1.3 素矩陣與循環(huán)矩陣
- 7.2 隨機(jī)矩陣與雙隨機(jī)矩陣
- 7.3 單調(diào)矩陣
- 7.4 MMM 矩陣與 HHH 矩陣
- 7.4.1 MMM 矩陣
- 定義 7.4.1
- 7.4.2 HHH 矩陣
- 7.5 TTT 矩陣與漢克爾矩陣
- 7.6 克羅內(nèi)克積
- 定義 7.6.1
- 7.6.1 克羅內(nèi)克積的概念
- 7.6.2 克羅內(nèi)克積的性質(zhì)
- 7.7 阿達(dá)馬積
- 7.8 反積及非負(fù)矩陣的阿達(dá)馬積
- 7.9 克羅內(nèi)克積應(yīng)用舉例
- 7.9.1 矩陣的拉直
- 7.9.2 線性矩陣方程的解
7.1 非負(fù)矩陣
注意:非負(fù)矩陣和正矩陣的概念與非負(fù)定矩陣和正定矩陣的概念是不同的。
正定矩陣相關(guān)解釋可參考:【數(shù)理知識(shí)】標(biāo)量函數(shù)、二次型函數(shù)、矩陣、正定負(fù)定半正定半負(fù)定
7.1.1 非負(fù)矩陣與正矩陣
對(duì)于任意的 A=(aij)∈Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n}A=(aij?)∈Cm×n,引進(jìn)記號(hào)
∣A∣=(∣aij∣)(7.1.2)|A| = (|a_{ij}|) \tag{7.1.2}∣A∣=(∣aij?∣)(7.1.2)
即表示以 aija_{ij}aij? 之模 ∣aij∣|a_{ij}|∣aij?∣ 為元素所得的非負(fù)矩陣;特別地,當(dāng) x=(x1,?,xn)T∈Cnx=(x_1, \cdots,x_n)^T \in \mathbb{C}^nx=(x1?,?,xn?)T∈Cn 時(shí),∣x∣=(∣x1∣,?,∣xn∣)T|x|=(|x_1|,\cdots,|x_n|)^T∣x∣=(∣x1?∣,?,∣xn?∣)T 表示一個(gè)非負(fù)向量。
注意,這里使用的記號(hào) ∣A∣|A|∣A∣ 與 ∣x∣|x|∣x∣,不要與前面講的“方陣的行列式”和“向量的長(zhǎng)度”概念混淆。
定理 7.1.3 (譜半徑的單調(diào)性)
設(shè) A,B∈Cn×nA,B\in \mathbb{C}^{n\times n}A,B∈Cn×n,若 ∣A∣≤B|A|\le B∣A∣≤B,則
ρ(A)≤ρ(∣A∣)≤ρ(B)(7.1.3)\rho(A)\le\rho(|A|)\le\rho(B)\tag{7.1.3}ρ(A)≤ρ(∣A∣)≤ρ(B)(7.1.3)
定理 7.1.4 (佩龍 (Perron) 定理)
設(shè) A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n,且 ρ(A)\rho(A)ρ(A) 為其譜半徑,若 A>0A>0A>0(正矩陣),則
(1)ρ(A)\rho(A)ρ(A) 為 AAA 的正特征值,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 y∈Rny\in\mathbb{R}^ny∈Rn 必為正向量;
(2)對(duì) AAA 的任何其他特征值 λ\lambdaλ,都有 ∣λ∣<ρ(A)|\lambda|<\rho(A)∣λ∣<ρ(A);
(3)ρ(A)\rho(A)ρ(A) 是 AAA 的單特征值。
7.1.2 不可約非負(fù)矩陣
定義 7.1.2 (可約與不可約矩陣)
設(shè) A∈Rn×n(n≥2)A\in \mathbb{R}^{n\times n}(n\ge2)A∈Rn×n(n≥2),若存在 nnn 階置換矩陣 PPP,使
PAPT=[A11A120A22](7.1.20)PAP^T = \left[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}\right]\tag{7.1.20}PAPT=[A11?0?A12?A22??](7.1.20)
其中, A11A_{11}A11? 為 rrr 階方陣,A22A_{22}A22? 為 n?rn-rn?r 階方陣(1≤r<n1\le r<n1≤r<n),則稱 AAA 為可約(可分)矩陣,否則稱 AAA 為不可約矩陣。
定理 7.1.9 (佩龍-弗羅貝尼烏斯 (Perron-Frobenius) 定理)
設(shè) A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n 是不可約非負(fù)矩陣,則
(1)AAA 有一正實(shí)特征值恰等于它的譜半徑 ρ(A)\rho(A)ρ(A),并且存在正向量 x∈Rnx\in \mathbb{R}^nx∈Rn,使得 Ax=ρ(A)xAx = \rho(A)xAx=ρ(A)x;
(2)ρ(A)\rho(A)ρ(A) 是 AAA 的單特征值;
(3)當(dāng) AAA 的任意元素(一個(gè)或多個(gè))增加時(shí),ρ(A)\rho(A)ρ(A) 增加。
英文版的 Perron-Frobenius Theorem 參考 On constructing Lyapunov functions for multi-agent systems
7.1.3 素矩陣與循環(huán)矩陣
7.2 隨機(jī)矩陣與雙隨機(jī)矩陣
7.3 單調(diào)矩陣
7.4 MMM 矩陣與 HHH 矩陣
1937年,奧斯喬斯基(Ostrowski)發(fā)現(xiàn)一類具有特殊構(gòu)造的矩陣,其非對(duì)角元素(i≠ji\ne ji?=j)aij≤0a_{ij}\le 0aij?≤0,即這種矩陣 AAA 都可以表示為 A=sI?BA=sI-BA=sI?B,且 s>0,B≥0s>0,B\ge0s>0,B≥0,故稱這種矩陣與非負(fù)矩陣有一定的聯(lián)系,稱為閔可夫斯基(Minkovski)矩陣,簡(jiǎn)稱 MMM 矩陣。
7.4.1 MMM 矩陣
定義 7.4.1
設(shè) A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n\times n}A∈Rn×n ,且可表示為
A=sI?B,s>0,B≥0(7.4.1)A=sI-B,\quad s>0,B\ge0 \tag{7.4.1}A=sI?B,s>0,B≥0(7.4.1)
若 s≥ρ(B)s\ge\rho(B)s≥ρ(B),則稱 AAA 為 MMM 矩陣;若 s>ρ(B)s>\rho(B)s>ρ(B),則稱 AAA 為非奇異 MMM 矩陣。
7.4.2 HHH 矩陣
7.5 TTT 矩陣與漢克爾矩陣
7.6 克羅內(nèi)克積
定義 7.6.1
設(shè) A=(aij)∈Cm×nA=(a_{ij}) \in \mathbb{C}^{m\times n}A=(aij?)∈Cm×n,B=(bij)∈Cp×qB=(b_{ij}) \in \mathbb{C}^{p\times q}B=(bij?)∈Cp×q,則稱如下的分塊矩陣
A?B=[a11Ba12B?a1nBa21Ba22B?a2nB????am1Bam2B?amnB]∈Cmp×nqA\otimes B = \left[\begin{matrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{matrix}\right] \in\mathbb{C}^{mp\times nq}A?B=??????a11?Ba21?B?am1?B?a12?Ba22?B?am2?B??????a1n?Ba2n?B?amn?B???????∈Cmp×nq
為 AAA 的克羅內(nèi)克(Kronecker)積,或稱 AAA 與 BBB 的直積,或張量積,簡(jiǎn)記為 A?B=(aijB)mp×nqA\otimes B=(a_{ij}B)_{mp\times nq}A?B=(aij?B)mp×nq?。即 A?BA\otimes BA?B 是一個(gè) m×nm\times nm×n 塊的分塊矩陣,最后是一個(gè) mp×nqmp\times nqmp×nq 矩陣。
擴(kuò)展:Matlab 計(jì)算克羅內(nèi)克積函數(shù) Kron(A,B)
【數(shù)理知識(shí)】kronecker 克羅內(nèi)克積
7.6.1 克羅內(nèi)克積的概念
7.6.2 克羅內(nèi)克積的性質(zhì)
7.7 阿達(dá)馬積
7.8 反積及非負(fù)矩陣的阿達(dá)馬積
7.9 克羅內(nèi)克積應(yīng)用舉例
7.9.1 矩陣的拉直
7.9.2 線性矩陣方程的解
總結(jié)
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