第4章回到目錄第6章

《最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)》-胡壽松老師-第5章-線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器

• 第5章 線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器
• • 5.1 線性二次型問(wèn)題
  • 5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器
  • • 5.2.1 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
    • • • 問(wèn)題5-1
      • （1）最優(yōu)解的充分必要條件
      • • 定理5-1
      • （2）黎卡提方程解的若干性質(zhì)
      • （3）最優(yōu)控制解的存在性與唯一性
      • • 定理5-2
    • 5.2.2 無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
    • • （1）無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器
      • • 問(wèn)題5-2
        • 定理5-3
      • （2）無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器
      • • 問(wèn)題5-3
        • 定理5-4
    • 5.2.3 最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性
  • 5.3 具有給定穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器
  • 5.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器
  • 5.5 離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器

第5章 線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器

線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)解具有統(tǒng)一的解析表達(dá)式

線性二次型最優(yōu)控制的基本內(nèi)容可以分為：最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)、最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)和最優(yōu)跟蹤。

可以證明，最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題和最優(yōu)跟蹤問(wèn)題都可以化為最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)問(wèn)題。

5.1 線性二次型問(wèn)題

5.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器

5.2.1 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器

問(wèn)題5-1

線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為
$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t_0)=x_0$$

性能指標(biāo)
$$J=\frac{1}{2}{x}^T(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{t_f}[x^T(t)Q(t)x(t)+u^T(t)R(t)u(t)]dt$$

（1）最優(yōu)解的充分必要條件

---

定理5-1

對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題5-1，最優(yōu)控制的充要條件是
$$u^{?}(t)=?R^{?1}(t)B^T(t)P(t)x(t)$$

最優(yōu)性能指標(biāo)為
$$J^{?}=\frac{1}{2}{x}^T(t_0)P(t_0)x(t_0)$$

式中 $P(t)$ 為對(duì)稱非負(fù)矩陣，滿足如下黎卡提矩陣微分方程
$$?\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)?P(t)B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$

邊界條件為
$$P(t_f)=F$$

最優(yōu)軌線 $x^{?}(t)$ 是下列線性向量微分方程的解
$$\dot{x}(t)=[A(t)?B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)]x(t),x(t_0)=x_0$$

---

（2）黎卡提方程解的若干性質(zhì)

（3）最優(yōu)控制解的存在性與唯一性

---

定理5-2

對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題5-1，若 $t_f$ 有限，則定理5-1給出的最優(yōu)控制 $u^{?}(t)$ 存在且唯一。

---

5.2.2 無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器

（1）無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器

問(wèn)題5-2

線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為
$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t_0)=x_0$$

性能指標(biāo)
$$J=\frac{1}{2}{\int }_{t_0}^{\infty }[x^T(t)Q(t)x(t)+u^T(t)R(t)u(t)]dt$$

---

定理5-3

對(duì)于無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題5-2，若陣對(duì) $\{A(t),B(t)\}$ 完全可控，則存在唯一的最優(yōu)控制
$$u^{?}(t)=?R^{?1}(t)B^T(t)\bar{P}(t)x(t)$$

最優(yōu)性能指標(biāo)為
$$J^{?}=\frac{1}{2}{x}^T(t_0)\bar{P}(t_0)x(t_0)$$

式中 $$\bar{P}(t)=\underset{t_f\to \infty }{\lim }P(t)$$

是對(duì)稱非負(fù)的，而 $P(t)$ 是如下黎卡提方程
$$?\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)?P(t)B(t)R^{?1}(t)B^T(t)P(t)+Q(t)$$

及其邊界條件
$$P(t_f)=0$$

的唯一解。

---

（2）無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器

問(wèn)題5-3

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為
$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x_0$$

性能指標(biāo)
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }[x^T(t)Qx(t)+u^T(t)Ru(t)]dt$$

---

定理5-4

---

5.2.3 最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性

閉環(huán)系統(tǒng)
$$\dot{x}(t)=(A?B{R}^{?1}{B}^T\bar{P})x(t),x(0)=x_0$$

為漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，$x^T(t)\bar{P}x(t)$ 為一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。

5.3 具有給定穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器

5.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器

5.5 離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【控制】《最优控制理论与系统》-胡寿松老师-第5章-线性最优状态调节器的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。