X. Xu, B. A??kme?e and M. J. Corless, “Observer-Based Controllers for Incrementally Quadratic Nonlinear Systems With Disturbances,” in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 66, no. 3, pp. 1129-1143, March 2021, doi: 10.1109/TAC.2020.2996985.

文章目錄

• 1 Introduction
• 2 Preliminaries
• 3 LMI-Based Conditions for robust global stablization of incrementally quadratic nonlinear systems
• • A. Block diagonal parameterization
• 4 ETC design
• • A. Configuration I: the controller channel is implemented by ETM
  • B. Configuration II: the controller and observer channels are both implemented by ETMs
• 5 Simulation example

1 Introduction

2 Preliminaries

非線形系統描述為：

$$?\begin{array}{rl}\dot{x}=& Ax+Bu+Ep(q)+E_{w}w\\ y=& Cx+Du+F_{w}w\\ q=& C_{q}x\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

3 LMI-Based Conditions for robust global stablization of incrementally quadratic nonlinear systems

觀測器設計為：
$$?\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+Ep(\hat{q}+L_1(\hat{y}?y))+L_2(\hat{y}?y)\\ \hat{y}=& C\hat{x}+Du\\ \hat{q}=& C_q\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

反饋控制輸入為
$$u(t)=k(\hat{x})\text{\hspace{1em}(12)}$$

基于觀測器控制器（12）的閉環系統可以表示為
$$\{\begin{array}{rl}\dot{x}=& (A+B{K}_1)x+(E+B{K}_2)p+B\Delta k+E_{w}w\\ \dot{e}=& (A+L_{2}C)e?E\delta p+(E_w+L_2{F}_w)w\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

定義 $z=(\begin{array}{c}x\\ e\end{array})$，動力學（15）可以表示為
$$\dot{z}=A_{c}z+H_{1}p+H_2\delta p+H_3\Delta p+H_{4}w\text{\hspace{1em}(17)}$$

A. Block diagonal parameterization

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4 ETC design

A. Configuration I: the controller channel is implemented by ETM

控制輸入為：

$$u(t)=K_1{\hat{x}}_s(t)+K_{2}p(C_q{\hat{x}}_s(t))\text{\hspace{1em}(71)}$$

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B. Configuration II: the controller and observer channels are both implemented by ETMs

$$y_s(t)=y(t_k^y)?t\in [t_k^y,t_{k+1}^y)$$

這里，$t_0^y=0$ 并且觸發時刻 $t_1^y,t_2^y,?$ 由以下觸發規則決定：
$$t_{k+1}^y=\inf \{t|t\ge t_k^y+{\tau }_y,\Vert y_e(t)\Vert >{\sigma }_y\Vert y(t)\Vert +{?}_y\}\text{\hspace{1em}(83)}$$

其中 $y_e(t)=y_s(t)?y(t)$ 并且 ${\tau }_y,{\sigma }_y,{?}_y$ 都是設定好的正數。

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結合采樣信息 $y_s(t)$，觀測器變為
$$?\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+Ep(\hat{q}+L_1(\hat{y}?y_s))+L_2(\hat{y}?y_s)\\ \hat{y}=& C\hat{x}+Du\\ \hat{q}=& C_q\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(84)}$$

其中 $L_1,L_2$ 是設計矩陣。

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基于觀測器控制輸入 $u(t)$ 如（71）所示，其中 ${\hat{x}}_s(t)$ 更新在時刻 $t_1^u,t_2^u,?$
$${\hat{x}}_s(t)=\hat{x}(t_k^u)?t\in [t_k^u,t_{k+1}^u)$$

這里，$t_0^u=0$ 并且觸發時刻 $t_1^u,t_2^u,?$ 由以下觸發規則決定：
$$t_{k+1}^u=\inf \{t|t\ge t_k^u+{\tau }_u,\Vert {\hat{x}}_e(t)\Vert >{\sigma }_u\Vert \hat{x}(t)\Vert +{?}_u\}\text{\hspace{1em}(85)}$$

其中 ${\hat{x}}_e(t)=\hat{x}(t_k)?\hat{x}(t)$ 并且 ${\tau }_u,{\sigma }_u,{?}_u$ 都是設定好的正數。注意 $\hat{x}$ 和 ${\hat{x}}_e$ 的信息可以從設計的觀測器中獲得。

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5 Simulation example

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1=& x_2\\ {\dot{x}}_2=& ?\sin (x_1)+u+w\\ y=& x_1\end{array}$$

觀測器設計為
$$?\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+Ep(\hat{q}+L_1(\hat{y}?y))+L_2(\hat{y}?y)\\ \hat{y}=& C\hat{x}+Du\\ \hat{q}=& C_q\hat{x}\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

仿真時參數假設為 $L_1=?1,L_2=[?5.1294,?18.0352{]}^{\text{T}},p(\hat{q})=\sin (\hat{q}),C_q=(1,0)$.

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因為觀測值 $\hat{y}$ 常由傳感器獲得，因此這里假設 $\hat{y}=y$，于是有
$$\{\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+Ep(\hat{q})\\ \hat{q}=& C_q\hat{x}\end{array}$$

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反饋控制輸入為
$$u(t)=k(\hat{x})\text{\hspace{1em}(12)}$$

$$u(t)=K_1{\hat{x}}_s(t)+K_{2}p(C_q{\hat{x}}_s(t))\text{\hspace{1em}(71)}$$
其中參數假設為 $K_1=(?7.3936,?3.9937),K_2=1$.
而 $w$ is uniformly generated from $[?w_0,w_0]$.

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結合上述分析過程，可以通過以下方式求解觀測值 $\hat{x}$
$$?\begin{array}{rl}\hat{q}=& C_q\hat{x}\\ u=& K_1\hat{x}(t)+K_{2}p(\hat{q})\\ \dot{\hat{x}}=& A\hat{x}+Bu+Ep(\hat{q})\end{array}$$

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之后，也可以通過同樣方式，結合公式（1）求出系統狀態。

誤差圖如下，用來對比原文中的 Fig.4.

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接下來分析 ETC

$$y_s(t)=y(t_k^y)?t\in [t_k^y,t_{k+1}^y)$$

這里，$t_0^y=0$ 并且觸發時刻 $t_1^y,t_2^y,?$ 由以下觸發規則決定：
$$t_{k+1}^y=\inf \{t|t\ge t_k^y+{\tau }_y,\Vert y_e(t)\Vert >{\sigma }_y\Vert y(t)\Vert +{?}_y\}\text{\hspace{1em}(83)}$$

其中 $y_e(t)=y_s(t)?y(t)$ 并且 ${\tau }_y,{\sigma }_y,{?}_y$ 都是設定好的正數。

$$\begin{array}{rl}k=0,t_1^y=& \inf \{t|t\ge 0+1.07?1e?4,\Vert y_e(t)\Vert >0.0017\Vert y(t)\Vert +0.005\}\\ k=1,t_2^y=& \inf \{t|t\ge t_1^y+1.07?1e?4,\Vert y_e(t)\Vert >0.0017\Vert y(t)\Vert +0.005\}\\ k=2,t_3^y=& \\ k=3,t_4^y=& \end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2021_Observer-Based Controllers for Incrementally Quadratic Nonlinear Systems With Disturbanc的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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