UA MATH565C 隨機微分方程V 無窮小生成算子

• Infinitesimal generator as derivative

這一講給出算子半群那一講提出的infinitesimal generator的作用和微分類似的命題的證明思路。對于Banach空間（有界連續函數，supnorm）$B$上的算子半群$P^t$，構造一個子空間：
$$B_0=\{f\in B:\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\Vert P^{t}f?f\Vert =0\}$$
這個子空間有如下性質：

性質一：$B_0$是一個閉集；

證明 驗證$B_0$中的任意柯西序列$f_n$的極限$f\in B_0$
$$\Vert P^{t}f?f\Vert \le \Vert P^{t}f?P^t{f}_n\Vert +\Vert P^t{f}_n?f_n\Vert +\Vert f_n?f\Vert$$
根據$B_0$的定義，右邊第二項極限為0，根據算子$P^t$的壓縮性第三項是第一項的上界，因此
$$\Vert P^{t}f?f\Vert \le 2\Vert f_n?f\Vert$$
因為$f$是柯西序列$f_n$的極限，當$n$足夠大時，取$\Vert f_n?f\Vert \le \frac{?}{2},??>0$，則$\Vert P^{t}f?f\Vert \le ?$，$f\in B_0$。

性質二：$t\to P^{t}f$在$B_0$上一致連續

證明 $?s\le t$,
$$\Vert P^{t}f?P^{s}f\Vert =\Vert P^s(P^{t?s}?I)f?f\Vert \le \Vert (P^{t?s}?I)f?f\Vert \to 0,ast?s\to 0$$

這兩個性質說明，把算子半群限制在$B_0$上具有良好的性質。

性質三：$D_A?B_0$，$D_A$是infinitesimal generator的定義域：
$$D_A=\{f\in B:?\underset{t\to 0}{\lim }{t}^{?1}(P^{t}f?f)\}$$

性質三的意義是說明即使把算子半群限制在了$B_0$上，因為我們關注的是$D_A$內的函數，所以這個限制也不會影響我們進一步分析。

Infinitesimal generator as derivative

$f\in D_A,P^{t}f\in D_A$，則
$$A{P}^{t}f=P^{t}Af=\frac{d}{dt}{P}^{t}f$$
這個式子說明$P^t$與$A$的關系就像是$P^t=e^{tA}$一樣。

證明
$$h^{?1}(P^h{P}^{t}f?P^{t}f)=h^{?1}(P^{t+h}f?P^{t}f)=P^t(p^{h}f?f)$$
計算
$$\begin{gathered} \Vert h^{?1}(P^{t+h}f?P^{t}f)?P^{t}Af\Vert =\Vert P^t[h^{?1}(P^{h}f?f)?Af]\Vert \\ \le \Vert h^{?1}(P^{h}f?f)?Af\Vert \to 0,ash\to 0 \end{gathered}$$
這說明$P^{t}f\in D_A$，并且$A{P}^{t}f=P^{t}Af$，以及等于right derivative。接下來考慮left derivative，
$$\begin{gathered} \Vert (?h{)}^{?1}(P^{t?h}f?P^{t}f)?P^{t}Af\Vert \\ \le \Vert P^{t?h}(?h{)}^{?1}(f?P^{h}f)?P^{t?h}Af\Vert +\Vert P^{t?h}Af?P^{t}Af\Vert \\ \le \Vert h^{?1}(P^{h}f?f)?Af\Vert +\Vert P^{t?h}Af?P^{t}Af\Vert \end{gathered}$$
根據$A$的定義以及性質二，性質三（$D_A?B_0?Af\in B_0$），這個上界趨于0。

總結

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