UA MATH564 概率論IV 次序統計量例題3

• 次序統計量常用公式
• 答案

次序統計量常用公式

定理1（單個次序統計量的分布）
$$F_{X_{(j)}}=\sum _{k=j}^n{C}_n^k[F(x){]}^k[1?F(x){]}^{n?k}$$
定理2（單個次序統計量的概率密度）
$$f_{X_{(j)}}(x)=j{C}_n^j[F(x){]}^{j?1}[1?F(x){]}^{n?j}f(x)$$
定理3（兩個次序統計量的聯合概率密度）不妨假設$j>i$，則
$$f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=\frac{n!}{(i?1)!(j?i?1)!(n?j)!}f(x_i)f(x_j)[F(x_i){]}^{i?1}[F(x_j)?F(x_i){]}^{j?i?1}[1?F(x_j){]}^{n?j}$$
定理4（所有次序統計量的聯合概率密度）
$$f(x_{(1)},?,x_{(n)})=n!f(x_1)f(x_2)?f(x_n)$$

答案

例3 如果$X_1,?,X_n$獨立同分布，并記其概率密度為$f(x)$，定義$R=X_{(n)}?X_{(1)},V=(X_{(n)}+X_{(1)})/2$，如果總體為均勻分布$U(0,\theta )$，計算條件密度$V|R=r$。
先根據定理3計算$X_{(1)}$與$X_{(n)}$的聯合概率密度，
$$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_1,x_n)=\frac{n!}{(n?2)!}f(x_1)f(x_n)[F(x_n)?F(x_1){]}^{n?2}$$
因為
$$X_{(1)}=(2V?R)/2,X_{(n)}=(2V+R)/2$$
計算Jacobi行列式（的絕對值），
$$J(R,V)=\left|\left|\frac{?(X_{(1)},X_{(n)})}{?(R,V)}\right|\right|=\left|\left|\begin{array}{cc}?1/2& 1/2\\ 1& 1\end{array}\right|\right|=|?1|=1$$
所以$R,V$的聯合概率密度是
$$\begin{gathered} f_{R,V}(r,v)=J(r,v)f_{X_{(1)},X_{(n)}}((2v?r)/2,(2v+r)/2) \\ =(n{)}_{2}f((2v?r)/2)f((2v+r)/2)[F((2v+r)/2)?F((2v?r)/2){]}^{n?2} \end{gathered}$$

其中$r/2<v<\theta ?r/2$。如果總體服從$U(0,\theta )$，則
$$f(x)=\frac{1}{\theta },F(x)=\frac{x}{\theta },0\le x\le \theta$$
$R,V$的聯合概率密度可以寫成
$$f_{R,V}(r,v)=(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n?2},r/2<v<\theta ?r/2$$
從而$R$的邊緣概率密度是
$$f_R(r)={\int }_{r/2}^{\theta ?r/2}(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n?2}dv=(\theta ?r)(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n?2}$$
$V|R=r$的條件概率密度為
$$f(v|R=r)=\frac{f_{R,V}(r,v)}{f_R(r)}=\frac{1}{\theta ?r}$$

例4 如果$X_1,?,X_n$獨立同分布，假設總體的概率密度$f(x)$關于${\xi }_0$對稱，記$X_i$的概率密度為$g_{(i)}(y)$，證明$g_{(i)}({\xi }_0+y)=g_{(n+1?i)}({\xi }_0?y)$
根據定理2寫出$X_{(i)}$的概率密度，
$$g_{(i)}(y)=i{C}_n^i[F(y){]}^{i?1}[1?F(y){]}^{n?i}f(y)$$
再根據定理2寫出$X_{(n+1?i)}$的概率密度，
$$g_{n+1?i}(y)=(n+1?i)C_n^{n+1?i}[F(y){]}^{n?i}[1?F(y){]}^{i?1}f(y)$$
首先
$$i{C}_n^i=\frac{n!}{(i?1)!(n?i)!}=(n+1?i)C_n^{n+1?i}$$
接下來考慮$f(x)$的對稱性，這里給出一個引理：

引理3 如果$f(x)$關于${\xi }_0$對稱，即$f({\xi }_0?x)=f({\xi }_0+x)$，則有
$$F({\xi }_0?x)+F({\xi }_0+x)=1$$
證明
$$F({\xi }_0?x)+F({\xi }_0+x)=\left({\int }_{?\infty }^{{\xi }_0?x}+{\int }_{?\infty }^{{\xi }_0+x}\right)f(y)dy$$
考慮到$f(x)$的對稱性，可以對積分區域做一些操作
$$\begin{gathered} {\int }_{?\infty }^{{\xi }_0?x}+{\int }_{?\infty }^{{\xi }_0+x}={\int }_{?\infty }^{{\xi }_0}?{\int }_{{\xi }_0?x}^{{\xi }_0}+{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{?\infty }^{{\xi }_0} \\ ={\int }_{?\infty }^{{\xi }_0}?{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{{\xi }_0}^{+\infty }={\int }_{?\infty }^{+\infty } \end{gathered}$$
因此$F({\xi }_0?x)+F({\xi }_0+x)=1$
證畢
因此
$$\begin{gathered} g_{(i)}({\xi }_0+y)=i{C}_n^i[F({\xi }_0+y){]}^{i?1}[1?F({\xi }_0+y){]}^{n?i}f({\xi }_0+y) \\ =(n+1?i)C_n^{n+1?i}[1?F({\xi }_0?y){]}^{i?1}[F({\xi }_0?y){]}^{n?i}f({\xi }_0?y)=g_{(n+1?i)}({\xi }_0?y) \end{gathered}$$

總結

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