睡眠周期的數學模型

• 生物學模型
• 數學模型
• • 睡眠-清醒
  • REM-NREM循環

這是對 A mathematical model of the sleep/wake cycle(2010)這篇論文理論部分的一個總結。

生物學模型

下圖描述了這篇論文建立的生物學模型：

先解釋上圖的名詞，再介紹它們之間的相互關系：

SCN是視交叉上核或稱下丘腦視交叉上核（suprachiasmatic nucleus, SCN）是晝夜節律調節系統的中樞結構；

ORX是食欲肽（orexin），又名下丘腦泌素（hypocretin），它的作用是使中樞神經處于清醒狀態，也掌控食欲；

VLPO是The ventrolateral preoptic nucleus (VLPO)，它是sleep-promoting
nuclei的一部分，可以簡單理解成促進睡眠的；

AMIN是wake-promoting monoaminergic cell groups，可以簡單理解為（通過單胺類神經遞質的傳遞）讓人清醒的細胞群；

HOM是睡眠穩態調節器，它不是某個具體的生物組織，而是一種負反饋，清醒的時候會增加，睡著的時候會減少；

REM是rapid eye movement，快速動眼期，它是睡眠的一個階段，在此階段時眼球會快速移動，同時身體肌肉放松，大腦的神經元的活動與清醒的時候相同，多數在醒來后能夠回憶起來的夢都是在REM睡眠發生的。與之相對的是非快速動眼期NREM，non-rapid eye movement，在這段睡眠期間，大腦的活動下降到最低，使得人體能夠得到完全的舒緩。不同于快速動眼睡眠，在這段期間眼球幾乎沒有運動，也很少做夢。同一個睡眠周期中，REM和NREM是交替進行的。REM-on是啟動REM的神經，REM-off是抑制REM的神經。

eVLPO（extended VLPO）是VLPO細胞群的一部分。Rempe, Best, Terman (2010)在模型中把VLPO分為clustered VLPO與extended VLPO，eVLPO會抑制REM-off，clVLPO會抑制eVLPO；

左右的那兩個I表示給對應的神經區域一定的刺激；

現在討論他們之間的相互關系：
促進睡眠的VLPO與促進清醒的AMIN是互相抑制的關系，在睡著的時候如果遇到了外界刺激，比如突然被人潑了一盆水，AMIN會被激活，開始抑制VLPO，但幸好我們有HOM，當AMIN被激活之后，HOM數量會上升，它會在激活VLPO的同時抑制AMIN，避免接受了一點外界刺激就會清醒，所以叫睡眠穩態調節器。SCN也會抑制VLPO，雖然它和VLPO之間的神經聯系比較稀疏，但它可以通過其他細胞群（比如DMH，Chou et al 2002）影響VLPO，此外SCN還會分泌ORX，ORX會刺激AMIN，進而也會抑制VLPO。

在一個完整的睡眠中，REM和NREM是交替進行的。REM-on會激活REM，REM-off抑制REM使身體進入NREM狀態，二者是互相抑制的關系。另外eVLPO會抑制REM-off，AMIN會抑制REM-on，但eVLPO會被VLPO抑制。

數學模型

睡眠-清醒

VLPO和AMIN可以用ODE建模，這個模型叫Morris–Lecar system，睡眠-清醒的調節過程用處理神經元激活/抑制的Hodgkin–Huxley model的簡化版本。記$x_V$與$x_A$表示促進睡眠的細胞群的活動以及促進清醒的細胞群的活動，如果$x_A<0$稱生物系統是睡著的，如果$x_A>0$稱它是清醒的。VLPO可以用模型表示為：
$$\begin{gathered} {\delta }_V{x}_V^{\prime }=f_V(x_V,y_V)?I_{AMIN}?I_{SCN}+I_{HOM}+(I_0^V+I_n^V) \\ {y}_V^{\prime }=g_V(x_V,y_V) \end{gathered}$$

AMIN可以表示為：
$$\begin{gathered} {\delta }_A{x}_A^{\prime }=f_A(x_A,y_A)?I_{VLPO}+I_{ORX}?I_{HOM}+(I_0^A+I_n^A) \\ {y}_A^{\prime }=g_A(x_A,y_A) \end{gathered}$$
其中$I$表示從某個細胞群傳來的神經信號的強度，$I_0^V$表示外界對VLPO的刺激，$I_n^V$是外界刺激的噪聲，${\delta }_V,{\delta }_A$是常數，
$$f(x,y)=3x?x^3+2?y,g(x,y)=?(\gamma H_{\infty }(x)?y/\tau (x))$$
其中$H_{\infty }(x)=0.5\tanh (x/0.01)$，它是對階躍函數的一個平滑近似，$\tau (x)={\tau }_2+({\tau }_2?{\tau }_1)H_{\infty }(x)$，這是一個從${\tau }_1$到${\tau }_2$的階躍函數。神經信號的強度按如下公式計算：
$$I_{VLPO}=g_{VLPO}{H}_{\infty }(x_V),I_{AMIN}=g_{AMIN}{H}_{\infty }(x_A)$$
其中$g_{VLPO},g_{AMIN}$是常數；
$$I_{SCN}=g_{SCN}C(t)$$
其中$g_{SCN}$是常數，$C(t)$是節律起搏器的模型Achermann and Borbély(1994)，因為SCN是調節晝夜節律的神經中樞，在晝夜節律調節中它的作用相當于就是一個起搏器；
$$I_{HOM}=g_{HOM}h(t)$$
其中$h(t)$是一個遞減的指數函數，
$$h^{\prime }(t)={\alpha }_h(h_{max}?h)I(x_A>0)?{\beta }_{h}hI(x_A<0)$$

REM-NREM循環

類似地，對REM-on和REM-off細胞群用ODE建模，REM-on的模型是：
$$\begin{gathered} {\delta }_R{x}_R^{\prime }=\sigma (f_R(x_R,y_R)?I_{AMIN}?I_{NREM}+(I_0^R+I_n^R)) \\ {y}_R^{\prime }=\sigma g_R(x_R,y_R) \end{gathered}$$

REM-off的模型是：
$$\begin{gathered} {\delta }_N{x}_N^{\prime }=\sigma (f_N(x_N,y_N)?I_{eVLPO}?I_{REM}+(I_0^N+I_n^N)) \\ {y}_N^{\prime }=\sigma g_N(x_N,y_N) \end{gathered}$$

其中${\delta }_R,{\delta }_N$是常數，$\sigma$是REM-NREM循環的頻率。現在更細致地考慮VLPO的模型，假設上面那部分關于VLPO的模型實際是clVLPO的，對于eVLPO：
$$x_e^{\prime }=x_e+(c_e?a_e{h}_e(x_V+c_v,k_{x,v})?b_e{h}_e(x_A,k_x))$$
其中$h_e(x,k)=0.5\tanh (x/k)$，$a_e,b_e,c_e,c_v,k_{x,v},k_x$都是常數。
$$I_{eVLPO}=g_{eVLPO}{x}_e$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的睡眠周期的数学模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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