UA MATH564 概率論 依概率收斂的一個例題

Part (a)
Let $Y_n～U(?1/n,1/n)$, $Z_n～U(n,n+1)$, $Y_n,Z_n$ are independent and $X_n=\frac{n?1}{n}{Y}_n+\frac{1}{n}{Z}_n$.
$$E{X}_n=\frac{n?1}{n}E{Y}_n+\frac{1}{n}E{Z}_n=\frac{2n+1}{2n}\to 1,asn\to \infty$$

Part (b)
$$Var(X_n)=\frac{(n?1{)}^2}{n^2}Var(Y_n)+\frac{1}{n^2}Var(Z_n)=\frac{(n?1{)}^2}{3n^4}+\frac{1}{12n^2}\to 0,asn\to \infty$$

Part (c)
By part (a) and part (b), $X_n$ converges to 1 in mean square. By property of convergence in probability $X_n{\to }_{p}1$.

總結

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