UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习
生活随笔
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UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习
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UA MATH523A 實分析1 集合論基礎1 基本概念復習
先復習幾個概念：
?F∈FF={x:x∈F,?F∈F}?F∈FF={x:x∈F,?F∈F}\bigcup_{F \in \mathcal{F}} F = \{x: x \in F, \exists F \in \mathcal{F}\} \\ \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F = \{x: x \in F, \forall F \in \mathcal{F}\}F∈F??F={x:x∈F,?F∈F}F∈F??F={x:x∈F,?F∈F}
F={Fα}α∈A\mathcal{F} = \{F_{\alpha}\}_{\alpha \in A}F={Fα?}α∈A?
lim?sup?Fn=?k=1∞?n=k∞Fnlim?inf?Fn=?k=1∞?n=k∞Fn\limsup F_n = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} F_n \\ \liminf F_n = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} F_nlimsupFn?=k=1?∞?n=k?∞?Fn?liminfFn?=k=1?∞?n=k?∞?Fn?
E?F={x:x∈Eandx?F}EΔF=(E?F)?(F?E)E\setminus F = \{x:x\in E\ and\ x \notin F\} \\ E \Delta F = (E\setminus F) \sqcup (F\setminus E)E?F={x:x∈E?and?x∈/?F}EΔF=(E?F)?(F?E)
(?α∈AFα)C=?α∈AFαC(?α∈AFα)C=?α∈AFαC\left( \bigcup_{\alpha \in A} F_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha \in A} F_{\alpha}^C \\ \left( \bigcap_{\alpha \in A} F_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha \in A} F_{\alpha}^C(α∈A??Fα?)C=α∈A??FαC?(α∈A??Fα?)C=α∈A??FαC?
X×Y={(x,y):x∈X.y∈Y}X \times Y = \{(x,y):x \in X.y \in Y\}X×Y={(x,y):x∈X.y∈Y}
f(D)={f(x):x∈D}f?1(E)={x:f(x)∈E}f(D) = \{f(x):x \in D\} \\ f^{-1}(E) = \{x:f(x) \in E\}f(D)={f(x):x∈D}f?1(E)={x:f(x)∈E}
f?1(?α∈AEα)=?α∈Af?1(Eα)f?1(?α∈AEα)=?α∈Af?1(Eα)f?1(EαC)=(f?1(Eα))Cf^{-1}\left(\bigcup_{\alpha \in A} E_{\alpha}\right) = \bigcup_{\alpha \in A}f^{-1}(E_{\alpha}) \\ f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha \in A} E_{\alpha}\right) = \bigcap_{\alpha \in A}f^{-1}(E_{\alpha}) \\ f^{-1}(E_{\alpha}^C) = (f^{-1}(E_{\alpha}))^Cf?1(α∈A??Eα?)=α∈A??f?1(Eα?)f?1(α∈A??Eα?)=α∈A??f?1(Eα?)f?1(EαC?)=(f?1(Eα?))C
單射（injection, 1-1）：?x1,x2∈X,f(x1)=f(x2)\exists x_1,x_2 \in X,f(x_1)=f(x_2)?x1?,x2?∈X,f(x1?)=f(x2?) only when x1=x2x_1=x_2x1?=x2?
滿射（surjection, onto）: f(X)=Yf(X)=Yf(X)=Y
雙射（bijection）：?y∈Y,?!x∈X,f(x)=y\forall y \in Y,\exists !x \in X, f(x)=y?y∈Y,?!x∈X,f(x)=y或者既是單射也是滿射
總結
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