UA MATH523A 實分析2 測度論定理證明思路總結

• • $\sigma$-代數
  • 測度
  • 外測度
  • Borel測度

上一篇總結了測度論部分的概念與定理，這一篇總結一下那22個定理的推導脈絡與證明思路。

$\sigma$-代數

Lemma 1.1闡述了集族與集族生成的$\sigma$-代數的關系，更大的集族生成的$\sigma$-代數一定是更大的。基于Lemma 1.1可以導出Proposition 1.3、Proposition 1.4，這兩個推論研究乘積空間上的sigma代數的結構，在不同的條件下，乘積空間上的sigma代數可以由幾種不同的集族生成。以Lemma 1.1為基礎證明兩個集族生成的sigma代數相同的思路是證明第一個集族屬于第二個集族，然后證明第二個集族屬于第一個集族即可。

Proposition 1.2闡述直線上的Borel代數的構造（直線各種區間都是Borel集合），Corollary 1.6闡述歐式空間上的Borel代數的構造（歐式空間上的Borel代數就是直線上的Borel代數的乘積），系1.6這個結論依托于Proposition 1.5，對于度量空間，一系列度量空間的Borel代數的乘積被包含于它們的乘積度量空間的Borel代數，當且僅當這一系列度量空間可分時，這兩個Borel代數相等。

推論1.5也是證明兩個集族生成的sigma代數的關系，但是多了一個度量空間的條件。推論1.5前半段可以用推論1.4結合引理1.1證明，不需要度量空間的條件。推論1.5的后半段需要證明${?}_{j=1}^n{\mathcal{B}}_{X_j}?{\mathcal{B}}_X$，推論1.4后半段說明If $A$ is countable and $X_{\alpha }\in {\mathcal{E}}_{\alpha }$, ${?}_{\alpha \in A}\mathcal{M}({\mathcal{E}}_{\alpha })=\mathcal{M}({\hat{\mathcal{F}}}_2),{\hat{\mathcal{F}}}_2=\{{\prod }_{\alpha \in A}{E}_{\alpha }:E_{\alpha }\in {\mathcal{E}}_{\alpha }\}$，根據引理1.1，我們需要在每個$X_j$上構造一個集族${\mathcal{E}}_j$使得${\mathcal{B}}_X$可以由${\hat{\mathcal{F}}}_2$型的集族生成。這個構造需要利用可分的性質，$X_j$存在可列稠密子集，記${\mathcal{E}}_j$是以可列稠密子集中的元素為中心，有理數為直徑的開球的集族，則$X_j$中的開集是${\mathcal{E}}_j$中元素的可列并（根據可分度量空間的性質構造可以生成Borel代數的集列的技術），這個${\mathcal{E}}_j$就是我們需要的。

Proposition 1.7闡述了基于elementary family構造代數的思路。sigma代數的條件是比較苛刻的，elementary family的限制條件比較小，因此構造elementary family相對容易，于是一種構造sigma代數的思路是先構造一個elementary family，從elementary family導出代數，然后加上一些限制得到sigma代數，測度的完備與擴張就可以用elementary family導出sigma代數的思路。推論1.7的證明非常簡單，驗證寫出elementary family中元素的并的集族，驗證它是一個代數即可。

測度

Theorem 1.8介紹了測度的四個重要性質，Monotonicity、Sub-additivity、Continuity from below、Continuity from above，這四個性質的證明非常經典，都是以集合運算為基礎的測度運算，因為按測度的定義，我們只能用它計算無交并，所以證明測度的等式和性質主要要做的就是將各種集合及其運算改寫成能用無交并表示的形式。Monotonicity考慮$E?F$的情況，可以將$F$分解為
$$F=E?(F?E)$$

Sub-additivity考慮一列任意集合$\{F_n\}$的交，將其改寫為無交并，
$${\cup }_{n=1}^{\infty }{F}_n={?}_{n=1}^{\infty }{E}_n,E_1=F_1,E_n=F_1?{\cup }_{i=1}^{n?1}{F}_i,E_n?F_n$$

Continuity from below考慮遞增集列的并，$F_n\uparrow$, 將其改寫為無交并
$${\cup }_{n=1}^{\infty }{F}_n={?}_{n=1}^{\infty }{E}_n,E_1=F_1,E_n=F_n?F_{n?1},n\ge 2$$

Continuity from above考慮遞減集列的并，$F_n\downarrow$, 記$E_n=F_1?F_n$，則可以直接用Continuity from below的結論。

Theorem 1.9討論了測度完備化的一種可行的操作，完備化其實就是讓測度的定義域更完備更合理，比如$X=\{a,b,c\}$, $\mathcal{P}(X)=\{?,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$, $\mathcal{M}=\{?,\{a\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$，顯然$\mathcal{M}?\mathcal{P}(X)$是一個sigma代數，我們可以在$\mathcal{M}$上定義測度：$\mu (\{a\})=1,\mu (\{b,c\})=0$。對于這個測度而言，$\{b\},\{c\}$是不可測的，但它們是零測集$\{b,c\}$的子集，所以這個測度事實上是不完備的，我們希望零測集的子集也沒有測度，定理1.9提供的就是延拓$\mathcal{M}$的一種操作，定理1.9的證明用了論述完備化以及延拓的唯一性的技術：

寫出sigma代數的延拓，并論述它也是一個sigma代數；

寫出測度的延拓，需要驗證延拓是良定義的集函數，即相等的集合的集函數的值相等；

論述測度的延拓也是一個測度；

論述測度的延拓是完備的，即說明任意零測集的子集的測度也為0

論述延拓的唯一性，如果有測度的另一個延拓，那么這個延拓與第四步中的相同

需要注意的是不一定完備化的延拓都具有唯一性，但這五步是非常標準的證明完備化與延拓的操作。

外測度

Proposition 1.10提供了從一般的集函數導出外測度的方法。因為測度的條件也是非常嚴苛的，外測度這一節的整體思路就是在論述外測度下可測的集合構成一個sigma代數，外測度限制到這個sigma代數上就成為了測度，然后我們可以對這個測度進行擴張，擴張到這個sigma代數生成的sigma代數上，這樣就得到了一個比較大的定義了測度的可測空間。推論1.10是第一步，提供了從定義在冪集上的更一般的集函數導出外測度的方法。推論1.10的證明就是在驗證下面這個定義滿足外測度的條件：
$${\mu }^{?}(A)=\inf \{\sum _{j=1}^{\infty }\rho (E_j):E_j\in \mathcal{E},A?{\cup }_{j=1}^{\infty }{E}_j\}$$

稍微復雜點的是驗證次可加性，這種定義(covering的集函數的inf)的用法是
$$\sum _{j=1}^{\infty }\rho (E_j^k)\le {\mu }^{?}(A_j)+?2^{?j}$$

也就是存在一個集列，它的集函數的值非常接近下確界，如果下確界大任意一個正數，它的集函數就更小了，這種結構在外測度以及外測度導出的測度中都非常有用。

Theorem 1.11 Caratheodory’s Theorem提供了基于外測度導出測度的技術。Caratheodory定理的證明非常標準化，與定理1.9的證明需要的技術類似，Caratheodory定理涉及的集族有一個結構$A?X$ ${\mu }^{?}$-measurable, ${\mu }^{?}(E)={\mu }^{?}(E\cap A)+{\mu }^{?}(E?A)$，證明外測度在${\mu }^{?}$-可測集上的限制是測度需要反復用到這個結構。

Equation 1.12提供了一種特殊情況，如果Proposition 1.10中的集函數用Premeasure，也就是具有測度的公理化性質，但定義域是任意集族的集函數，用Premeasure導出的外測度具有兩條有趣的性質，也就是Proposition 1.13和Proposition 1.14，Proposition 1.13指出Premeasure導出的外測度限制在Premeasure的定義域上等于Premeasure，并且Premeasure的定義域定義域中的集合在外測度下都是可測的。Proposition 1.14指出Premeasure導出的外測度限制在Premeasure的定義域生成的sigma代數上就成為了測度。推論1.13的證明后半段主要就是在用推論1.10中結構驗證${\mu }^{?}$-可測的結構，前半段是驗證外測度的限制等于premeasure，證明方法就是分別說明大于等于和小于等于即可。推論1.14前半部分是Caratheodory定理的應用，后半段依然是熟悉的完備化的唯一性。

Borel測度

這一節討論的是直線上的測度，稱之為Borel測度，這是應用最為廣泛的一種測度，也是后續建立積分理論所主要依賴的測度之一。Proposition 1.15給出了分布函數導出premeasure的方法，再根據Equation 1.12、Proposition 1.13、Proposition 1.14就可以得到一個測度；Theorem 1.16介紹了Borel測度與分布函數的一一對應關系。定理1.16就是驗證定義，但推論1.15的證明比較復雜：

論述${\mu }_0$是良定義的

驗證${\mu }_0$是premeasure

復雜在第二步，就是分別論述大于等于和小于等于即可，考慮到分布函數的性質，需要h-interval對集合進行逼近。

完備的Borel測度被稱為L-S測度，L-S測度擁有非常良好的性質。盡管我們前兩節討論了構造sigma代數與測度的一般性方法，但并不是隨隨便便構造一個測度就會有非常良好的便于應用的性質的。Lemma 1.17與Theorem 1.18研究了L-S測度大的構造，這兩個結果為L-S可測集的逼近方法提供了基礎。引理1.17提供了開區間逼近L-S可測集的技術，定理1.18提供了開集、緊集逼近L-S可測集的技術，二者的證明有一些類似之處，都是分別證明大于等于和小于等于，盡管分別是用開區間、開集、緊集做逼近，但為了用Borel測度的結構，我們就再用h-interval分別逼近開區間、開集、緊集即可（小于等于）；證明大于等于需要推論1.10的結構。

Theorem 1.19與Proposition 1.20研究了L-S可測集的性質，定理1.19給出了用$G_{\delta }$或者$F_{\sigma }$集合構造L-S可測集的技術，推論1.20說明了用開區間逼近L-S可測集的可能性。

分布函數$F(x)=x$導出的完備Borel測度是Lebesgue測度，它是對歐式幾何一些度量概念的抽象化，具有繼承于歐式幾何的、與我們在UA MATH523A 實分析2 測度論1 Banach-Tarski：為什么需要sigma代數中所討論的一致的不變性，Theorem 1.21闡述了這種不變性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析2 测度论定理证明技巧总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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