UA MATH5233 實分析A 積分理論例題 討論原函數的連續性

例 $(X,\mathcal{M},\mu )$是一個測度空間，$f$是一個可測函數，$f>0$ $\mu ?a.e.$, 定義
$$F(t)={\int }_{E_t}f(x)d\mu (x),?t\ge 0$$

其中$E_t=\{x:f(x)\ge t\}$。定義$B_t=\{x:f(x)=t\}$，證明$F(t)$在$t_0$處連續的充要條件為$\mu (B_{t_0})=0$。

證明
$?$: 如果$t_0=0$，因為$f>0$ $\mu ?a.e.$，所以$\mu (B_0)=0$必然成立。如果$t_0>0$，假設$F(t)$在$t_0$處連續。$?t>t_0$, 顯然$E_t?E_{t_0}$，
$$\begin{gathered} E_{t_0}?E_t=\{x:t_0\le f(x)<t\} \\ F(t_0)?F(t)={\int }_{E_{t_0}?E_t}f(x)d\mu (x)\ge t_0\mu (E_{t_0}?E_t) \end{gathered}$$

找一個實數列$\{t_n\}$使得$t_n\downarrow t_0$，則$E_{t_0}?E_n\downarrow B_{t_0}$, 根據測度的連續性與$F$在$t_0$處的連續性，
$$0=\underset{n\to \infty }{\lim }(F(t_n)?F(t_0))\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{t}_{0}m(E_{t_0}?E_n)=t_{0}m(B_{t_0})\ge 0$$

所以$\mu (B_{t_0})=0$。

$?$: 假設$\mu (B_{t_0})=0$，找一個實數列$\{t_n\}$使得$t_n\downarrow t_0$
$$\begin{gathered} E_{t_0}?E_{t_n}=\{x:t_0\le f(x)<t_n\} \\ 0\le F(t_0)?F(t_n)={\int }_{E_{t_0}?E_{t_n}}f(x)d\mu (x)<t_n\mu (E_{t_0}?E_{t_n}) \end{gathered}$$

注意到
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_n\mu (E_{t_0}?E_{t_n})=\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_n\mu (B_{t_n})=0$$

因此
$$0\le F(t_0)?F(t_n)\le t_n\mu (B_{t_n})\to 0,asn\to \infty$$

或者說$F$在$t_0$處右連續。

找一個實數列$\{t_n\}$使得$t_n\uparrow t_0$，則$E_{t_n}?E_{t_0}\downarrow ?$
$$\begin{gathered} E_{t_n}?E_{t_0}=\{x:t_n\le f(x)<t_0\} \\ 0\le F(t_n)?F(t_0)={\int }_{E_{t_n}?E_{t_0}}f(x)d\mu (x)<t_0\mu (E_{t_n}?E_{t_0}) \end{gathered}$$

因為
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_0\mu (E_{t_n}?E_{t_0})=t_0\mu (?)=0$$

因此
$$0\le F(t_n)?F(t_0)\le t_0\mu (?)=0,asn\to \infty$$

或者說$F$在$t_0$處左連續。綜上，$F$在$t_0$處連續。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 讨论原函数的连续性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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