UA MATH567 高維統計II 隨機向量4 Frame、凸性與各向同性

上一講末尾我們介紹了frame作為標準正交基的推廣的概念，我們稱$\{u_i{\}}_{i=1}^N,u_i\in {\mathbb{R}}^n$是frames，如果
$$A{\Vert x\Vert }_2^2\le \sum _{i=1}^N?u_i,x{?}^2\le B{\Vert x\Vert }_2^2,?x\in {\mathbb{R}}^n$$

其中$A,B$叫frame bound。如果$A=B$，稱這個frame為tight frame。

tight frame的充要條件 $\{u_i{\}}_{i=1}^N$是tight frame的充要條件是${\sum }_{i=1}^N{u}_i{u}_i^T=A{I}_n,?A$，其中$A$是frame bound

這一講我們介紹一些frame在高維統計中的性質。

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frame與各向同性

$\{u_i{\}}_{i=1}^N$是tight frame，frame bound為$A$，如果$X～Unif(u_1,?,u_N)$，則$\sqrt{N/A}X$是各向同性的隨機向量；

假設$X$是$n$維隨機向量，$P(X=x_i)=p_i,1\le i\le N$，如果$X$是各向同性的，則$u_i=\sqrt{p_i}{x}_i$是frame bound為1的tight bound

證明
第一條，$X～Unif(u_1,?,u_N)$說明$P(X=u_i)=1/N$，于是
$$EX{X}^T=\sum _{i=1}^N\frac{1}{N}{u}_i{u}_i^T=\frac{1}{N}A{I}_n$$

計算
$$E(\sqrt{N/A}X)(\sqrt{N/A}X{)}^T=\frac{N}{A}EX{X}^T=I_n$$

所以$\sqrt{N/A}X$是各向同性的隨機向量；

第二條，如果$X$各向同性，則
$$EX{X}^T=\sum _{i=1}^N{p}_i{x}_i{x}_i^T=\sum _{i=1}^N(\sqrt{p_i}{x}_i)(\sqrt{p_i}{x}_i{)}^T=\sum _{i=1}^N{u}_i{u}_i^T=I_n$$

所以$u_i=\sqrt{p_i}{x}_i$是frame bound為1的tight bound；

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凸性與各向同性

假設$K$是一個非空凸集，$X～Unif(K)$，即$X$是這個非空凸集上的均勻分布，$\Sigma =EX{X}^T$，我們做一個線性變換
$$Z={\Sigma }^{?1/2}X$$

則$Z$是一個各向同性的隨機向量。

總結

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