UA PHYS515 電磁理論II 靜電場問題5 用Green函數法求解interior Dirichlet問題的例子

例2
均勻金屬空心外殼厚度可忽略的接地球球心位于原點，半徑為$a$，用球坐標$(r,\theta ,?)$描述，球面上邊界條件為$\Phi =\Phi (a,\theta ,?)$，計算球內的電場。
解
$V=\{r:|r|<R\}$，邊界為$S=\{r:|r|=R\}$，Dirichlet條件為$\Phi (r)=0,?r\in S$；寫出Green函數：
$$G(r,r^{\prime })=\frac{1}{|r?r^{\prime }|}+F(r,r^{\prime })$$

為簡化起見，我們假設沿$r^{\prime }$的方向存在一個image charge，我們假設它的電荷量為$q^{\prime }$，用${\hat{n}}^{\prime }$表示與$r^{\prime }$平行的$S$的外法向，則image charge的位置可以表示為$r^{\prime \prime }=r^{\prime \prime }{\hat{n}}^{\prime }$；假設測試電荷的位置為$r$，與它平行的$S$的外法向為$\hat{n}$，假設$\hat{n}$與${\hat{n}}^{\prime }$的夾角為$\gamma$；于是
$$G(r,r^{\prime })=\frac{1}{|r?r^{\prime }|}+\frac{q^{\prime }}{|r?r^{\prime \prime }|}=\frac{1}{|r\hat{n}?r^{\prime }{\hat{n}}^{\prime }|}+\frac{q^{\prime }}{|r\hat{n}?r^{\prime \prime }\hat{n}|}$$

其中$q^{\prime }$與$r^{\prime \prime }$是未知參數，我們需要用image charge的性質，解出這兩個參數。根據$G(r,r^{\prime }){|}_{r\in S}=0$，我們可以得到：
$$\begin{gathered} \frac{1}{|r\hat{n}?r^{\prime }{\hat{n}}^{\prime }|}+\frac{q^{\prime }}{|r\hat{n}?r^{\prime \prime }\hat{n}|}=\frac{1}{r|\hat{n}?\frac{r^{\prime }}{r}{\hat{n}}^{\prime }|}+\frac{q^{\prime }}{r^{\prime \prime }|\frac{r}{r^{\prime \prime }}\hat{n}?{\hat{n}}^{\prime }|}=0 \\ r=a \end{gathered}$$

一種可行的解是
$$\{\begin{array}{l}\frac{q^{\prime }}{r^{\prime \prime }}=?\frac{1}{r}=?\frac{1}{a}\\ \frac{r}{r^{\prime \prime }}=\frac{a}{r^{\prime \prime }}=\frac{r^{\prime }}{r}=\frac{r^{\prime }}{a}\end{array}?\{\begin{array}{l}{q}^{\prime }=?\frac{a}{r^{\prime 2}}\\ r^{\prime \prime }=\frac{a^2}{r^{\prime }}\end{array}$$

需要注意的是$r^{\prime }$的方向就是邊界的一個外法線方向${\hat{n}}^{\prime }$，測試電荷的位置$r$的方向也是邊界的一個外法線方向$\hat{n}$，記這兩個外法線方向夾角為$\gamma$，則在球坐標中：
$$\begin{gathered} r=r(\sin \theta \cos ?,\sin \theta ,\sin ?,\cos \theta ) \\ \cos \gamma =\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }+\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }\cos (??{?}^{\prime }) \end{gathered}$$

現在我們就可以把Green函數在球坐標系下的表達式寫出來了，
$$G=\frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}?2r{r}^{\prime }\cos \gamma }}?\frac{1}{\sqrt{\frac{r^2{r}^{\prime 2}}{a^2}+a^2?2r{r}^{\prime }\cos \gamma }}$$

Dirichlet問題的積分解：
$$\Phi (r)={\int }_V\rho (r^{\prime })G(r,r^{\prime })d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }?\frac{1}{4\pi }{\oint }_{S(V)}\Phi (r^{\prime })\frac{?G}{?n}dS$$

因為這個題目球的內部沒有source，所以第一項為零，于是我們只需計算
$$\begin{gathered} \frac{?G}{?n}=\frac{?G}{?r^{\prime }}=?\frac{r^{\prime }?r\cos \gamma }{(r^2+r^{\prime 2}?2r{r}^{\prime }\cos \gamma {)}^{3/2}} \\ +\frac{\frac{r^2{r}^{\prime }}{a^2}?r\cos \gamma }{(\frac{r^2{r}^{\prime 2}}{a^2}+a^2?2r{r}^{\prime }\cos \gamma {)}^{3/2}} \\ \frac{?G}{?n}{|}_{r^{\prime }=a}=\frac{r^2?a^2}{a(r^2+a^2?2ar\cos \gamma {)}^{3/2}} \end{gathered}$$

因此結果為
$$\Phi (r,\theta ,?)=?\frac{1}{4\pi }{\oint }_S\Phi (a^{\prime },{\theta }^{\prime }{?}^{\prime })\frac{r^2?a^2}{a(r^2+a^2?2ar\cos \gamma {)}^{3/2}}dS$$

其中$dS=a^2\sin \theta d\theta d?$, 因此
$$\Phi (r,\theta ,?)=?\frac{1}{4\pi }?\Phi (a^{\prime },{\theta }^{\prime }{?}^{\prime })\frac{a(r^2?a^2)\sin \theta }{(r^2+a^2?2ar\cos \gamma {)}^{3/2}}d\theta d?$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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