UA MATH564 概率論 多元隨機變量的變換 幾個例題

例5 $X_1,X_2,X_3{～}_{iid}EXP(\lambda )$，$Y_1=X_1+X_2+X_3,Y_2=\frac{X_1}{X_1+X_2},Y_3=\frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3}$，求$Y_1,Y_2,Y_3$的聯合概率密度，并判斷他們是否互相獨立。
先把$X_1,X_2,X_3$表示成$Y_1,Y_2,Y_3$的函數，
$$\begin{gathered} Y_3=\frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3}=\frac{X_1+X_2}{Y_1}?X_1+X_2=Y_1{Y}_3 \\ {Y}_2=\frac{X_1}{X_1+X_2}=\frac{X_1}{Y_1{Y}_3}?X_1=Y_1{Y}_2{Y}_3 \end{gathered}$$

因此$X_2=Y_1{Y}_3(1?Y_2),X_3=Y_1(1?Y_3)$，
$$\begin{gathered} \frac{?(X_1,X_2,X_3)}{?(Y_1,Y_2,Y_3)}=\left|\begin{array}{ccc}{Y}_2{Y}_3& Y_3(1?Y_2)& 1?Y_3\\ Y_1{Y}_3& ?Y_1{Y}_3& 0\\ Y_1{Y}_2& Y_1(1?Y_2)& ?Y_1\end{array}\right| \\ =(1?Y_3)[Y_1^2(1?Y_2)Y_3+Y_1^2{Y}_2{Y}_3]?Y_1[?Y_1{Y}_2{Y}_3^2?Y_1(1?Y_2)Y_3^2] \\ =(1?Y_3)Y_1^2{Y}_3+Y_1^2{Y}_3^2=Y_1^2 \end{gathered}$$

$X_1,X_2,X_3$的聯合概率密度是
$$f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)={\lambda }^3{e}^{?\lambda (x_1+x_2+x_3)},x_1,x_2,x_3>0$$

因此$Y_1,Y_2,Y_3$的聯合概率密度是
$$f_{Y_1,Y_2,Y_3}(y_1,y_2,y_3)={\lambda }^3{y}_1^2{e}^{?\lambda y_1},y_1>0$$

顯然$Y_1,Y_2,Y_3$獨立。

例5 續 $Z_1=X_1/Y_1$，$Z_2=X_2/Y_1$，求$Z_1,Z_2$的聯合概率密度。
先對$Z_1,Z_2$變形一下，
$$\begin{gathered} Z_1=\frac{X_1}{Y_1}=\frac{Y_1{Y}_2{Y}_3}{Y_1}=Y_2{Y}_3 \\ {Z}_2=\frac{X_2}{Y_1}=\frac{Y_1{Y}_3(1?Y_2)}{Y_1}=Y_3(1?Y_2) \end{gathered}$$

再把$Y_2,Y_3$表示為$Z_1,Z_2$的函數
$$\frac{1?Y_2}{Y_2}=\frac{1}{Y_2}?1=\frac{Z_2}{Z_1}?Y_2=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$$

所以$Y_3=Z_1+Z_2$，計算Jacobi行列式
$$\frac{?(Y_2,Y_3)}{?(Z_1,Z_2)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{Z_2}{(Z_1+Z_2{)}^2}& 1\\ ?\frac{Z_1}{(Z_1+Z_2{)}^2}& 1\end{array}\right|=\frac{1}{Z_1+Z_2}$$

$Y_2,Y_3$的聯合概率密度為
$$\begin{gathered} f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)={\int }_0^{\infty }{\lambda }^3{y}_1^2{e}^{?\lambda y_1}d{y}_1=?{\int }_0^{\infty }{\lambda }^2{y}_1^2{e}^{?\lambda y_1}d(?\lambda y_1) \\ =?{\lambda }^2{y}_1^2{e}^{?\lambda y_1}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }2{\lambda }^2{y}_1{e}^{?\lambda y_1}d{y}_1=?{\int }_0^{\infty }2\lambda y_1{e}^{?\lambda y_1}d(?\lambda y_1) \\ =?2\lambda y_1{e}^{?\lambda y_1}{|}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }2\lambda e^{?\lambda y_1}d{y}_1=?2e^{?\lambda y_1}{|}_0^{\infty }=2 \end{gathered}$$

因此$Z_1,Z_2$的聯合概率密度是
$$f_{Z_1,Z_2}(z_1,z_2)=\frac{2}{z_1+z_2},z_1,z_2\in (0,1)$$

總結

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