UA PHYS515A 电磁理论IV 时变电磁场理论6 用含时Green函数求解时变电磁场问题的例子
UA PHYS515A 電磁理論IV 時變電磁場理論6 用含時Green函數求解時變電磁場問題的例子
在一個nuclear中有一些photon，photon受激產生e?,e+e^-,e^+e?,e+兩個electron，其中e?e^-e?沿k^\hat kk^方向運動，e+e^+e+沿?k^-\hat k?k^方向運動，速度大小記為vvv，現在我們試圖計算這個過程激發的電磁場。
回顧一下相關方程為：
(?2?1c2?2?t2)Φ=?4πρ(?2?1c2?2?t2)A?=?4πcJ?\left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\Phi = -4 \pi \rho \\ \left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec A = -\frac{4 \pi }{c}\vec J (?2?c21??t2?2?)Φ=?4πρ(?2?c21??t2?2?)A=?c4π?J
以及
B?=?×A?E?=??Φ?1c?A??t\vec B = \nabla \times \vec A \\ \vec E =-\nabla \Phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec A}{\partial t}B=?×AE=??Φ?c1??t?A?
這個問題沒有邊界條件，并且是過去的事件造成未來某個時刻某個位置可以觀測到電磁場，所以需要retarded solution
Φ(?)(r?,t)=?G+(r?,t,r?′,t′)ρ(r?′,t′)d3r?′dt′A?(?)(r?,t)=1c?G+(r?,t,r?′,t′)J?(r?′,t′)d3r?′dt′\Phi^{(-)}(\vec r ,t)=\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \rho(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt' \\ \vec A^{(-)}(\vec r ,t)=\frac{1}{c}\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \vec J(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt'Φ(?)(r,t)=?G+(r,t,r′,t′)ρ(r′,t′)d3r′dt′A(?)(r,t)=c1??G+(r,t,r′,t′)J(r′,t′)d3r′dt′
Green函數為
G±(r,t?t′)=δ(t?t′?rc)rG^{\pm}(r,t-t')=\frac{\delta(t-t' - \frac{r}{c})}{r}G±(r,t?t′)=rδ(t?t′?cr?)?
下面計算電磁場的source：
ρ(r?′,t′)=?eδ(3)(r?′?(0,0,vt′))+eδ(3)(r?′?(0,0,?vt′))J?(r?′,t′)=?evδ(3)(r?′?(0,0,vt′))k^+evδ(3)δ(3)(r?′?(0,0,?vt′))(?k^)\rho(\vec r',t')=-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt'))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt')) \\ \vec J(\vec r',t')=-ev\delta^{(3)}(\vec r' - (0,0,vt'))\hat k+ \\ ev\delta^{(3)}\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt'))(-\hat k)ρ(r′,t′)=?eδ(3)(r′?(0,0,vt′))+eδ(3)(r′?(0,0,?vt′))J(r′,t′)=?evδ(3)(r′?(0,0,vt′))k^+evδ(3)δ(3)(r′?(0,0,?vt′))(?k^)
然后計算積分
?G+(r?,t,r?′,t′)ρ(r?′,t′)d3r?′dt′=?δ(t?t′?rc)r[?eδ(3)(r?′?(0,0,vt′))+eδ(3)(r?′?(0,0,?vt′))]dt′d3r?′=∫d3r?′r[?eδ(3)(r?′?(0,0,vt?vr/c))+eδ(3)(r?′?(0,0,?vt+vr/c))]=?ex2+y2+(z?z0)2+ex2+y2+(z?z02)z0=vt?vcx2+y2+(z?z0)2\iint G^{+}(\vec r, t , \vec r' ,t') \rho(\vec r ' ,t ')d^3 \vec r' dt' \\ = \iint\frac{\delta(t-t' - \frac{r}{c})}{r}[-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt'))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt'))]dt'd^3 \vec r' \\ = \int \frac{d^3 \vec r'}{r}[-e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,vt-vr/c))+e\delta^{(3)}(\vec r'-(0,0,-vt+vr/c))] \\ = -\frac{e}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}}+\frac{e}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0^2)}} \\ z_0 = vt - \frac{v}{c}\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}?G+(r,t,r′,t′)ρ(r′,t′)d3r′dt′=?rδ(t?t′?cr?)?[?eδ(3)(r′?(0,0,vt′))+eδ(3)(r′?(0,0,?vt′))]dt′d3r′=∫rd3r′?[?eδ(3)(r′?(0,0,vt?vr/c))+eδ(3)(r′?(0,0,?vt+vr/c))]=?x2+y2+(z?z0?)2?e?+x2+y2+(z?z02?)?e?z0?=vt?cv?x2+y2+(z?z0?)2?
基于這個結果可以確定電磁場的標量勢，類似的操作可以計算出向量勢，
A?(r?,t)=?1cevk^x2+y2+(z?z0)2?1cevk^x2+y2+(z+z0)2\vec A(\vec r,t)=-\frac{1}{c}\frac{ev\hat k}{\sqrt{x^2+y^2+(z-z_0)^2}}-\frac{1}{c}\frac{ev\hat k}{\sqrt{x^2+y^2+(z+z_0)^2}}A(r,t)=?c1?x2+y2+(z?z0?)2?evk^??c1?x2+y2+(z+z0?)2?evk^?
然后計算磁感應強度和電場強度太難算了就懶得寫了。
總結
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