UA OPTI570 量子力學(xué)6 單個(gè)粒子的波函數(shù)空間

• • 波函數(shù)空間
  • • 波函數(shù)空間是線性空間
    • 波函數(shù)的內(nèi)積
    • 波函數(shù)的線性算子
  • 波函數(shù)空間的離散基
  • • 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正交基
    • Closure Relation
  • 波函數(shù)空間的連續(xù)基

前面的內(nèi)容基本讓我們從物理上接受了波函數(shù)這個(gè)概念，那么從這一講開始我們要試圖讓波函數(shù)在數(shù)學(xué)上也成為一個(gè)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぞ摺?/p>

波函數(shù)空間

在討論單個(gè)粒子的薛定諤方程時(shí)，我們介紹了波函數(shù)$\psi (\text{r})$的物理意義是$|\psi (\text{r}){|}^2$表示這個(gè)粒子出現(xiàn)在$\text{r}$處的概率，因此波函數(shù)收到概率歸一性的約束，即在空間每個(gè)位置出現(xiàn)的概率之和為1：
$$\int |\psi (\text{r}){|}^2{d}^3\text{r}=1$$

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，我們很容易就能聯(lián)想到數(shù)學(xué)中的平方可積函數(shù)這個(gè)概念，也就是在給定集合上平方后的積分有限的這類函數(shù)。這類函數(shù)組成的集合為$L^2$，但作為物理學(xué)人，我們肯定是不想用這么規(guī)范的數(shù)學(xué)符號(hào)的，更何況$L^2$代表的函數(shù)可比波函數(shù)更廣，于是我們就定義$\mathcal{F}$作為所有可能的單個(gè)粒子的波函數(shù)的集合，當(dāng)然$\mathcal{F}$應(yīng)該是$L^2$的子集。

波函數(shù)空間是線性空間

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$L^2$是線性空間，要說明波函數(shù)空間$\mathcal{F}$也是線性空間，只需要說明$\mathcal{F}$是$L^2$的線性子空間即可，即說明$?{\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{F}$
$$\psi ={\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2\in \mathcal{F},?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$$

根據(jù)波函數(shù)的疊加原理，$\psi$在物理上是個(gè)波函數(shù)，要從數(shù)學(xué)上說明$\psi \in \mathcal{F}$，需要證明$\psi$平方可積，
$$|\psi {|}^2=|{\lambda }_1{|}^2|{\psi }_1{|}^2+|{\lambda }_2{|}^2|{\psi }_2{|}^2+{\lambda }_1^{?}{\lambda }_2{\psi }_1^{?}{\psi }_2+{\lambda }_1{\lambda }_2^{?}{\psi }_1{\psi }_2^{?}$$

前兩項(xiàng)是可積的，而后兩項(xiàng)的模的上界為
$$|{\lambda }_1||{\lambda }_2|(|{\psi }_1{|}^2+|{\psi }_2{|}^2)$$

這也是可積的，綜上$\psi \in \mathcal{F}$。

波函數(shù)的內(nèi)積

$??,\psi \in \mathcal{F}$，定義它們的內(nèi)積為
$$(?,\psi )=\int {\psi }^{?}(\text{r})\psi (\text{r})d^3\text{r}$$

在復(fù)值函數(shù)的內(nèi)積中，順序是比較重要的，所以這個(gè)內(nèi)積被稱為scalar product of $\psi$ by $?$，也就是用$?$乘$\psi$的內(nèi)積，如果兩個(gè)波函數(shù)內(nèi)積為0，就稱它們正交(orthogonal)。它滿足下面四條性質(zhì)：

$(?,\psi )=(\psi ,?{)}^{?}$

Linearity: $(?,{\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2)={\lambda }_1(?,{\psi }_1)+{\lambda }_2(?,{\psi }_2)$

Anti-linearity: $({\lambda }_1{?}_1+{\lambda }_2{?}_2,\psi )={\lambda }_1^{?}({?}_1,\psi )+{\lambda }_2^{?}({?}_2,\psi )$

Schwarz不等式：$|({\psi }_1,{\psi }_2)|\le \sqrt{({\psi }_1,{\psi }_1)}\sqrt{({\psi }_2,{\psi }_2)}$

波函數(shù)的線性算子

稱定義在$\mathcal{F}$上的函數(shù)$A$是線性算子，如果$?{\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{F}$，
$$A({\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2)={\lambda }_{1}A{\psi }_1+{\lambda }_{2}A{\psi }_2,?{\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$$

常見的比如微分算子：
$$D_x\psi =\frac{?\psi }{?x}$$

parity operator：
$$\Pi \psi (x,y,z)=\psi (?x,?y,?z)$$

不知道是什么但只是簡(jiǎn)單和$x$做個(gè)乘法的算子：
$$X\psi =x\psi$$

兩個(gè)線性算子的乘法是
$$(AB)\psi =A(B\psi )$$

通常$AB=BA$，關(guān)于線性算子乘法的交換律，我們定義commutator（交換子）來描述：
$$[A,B]=AB?BA$$

比如
$$[X,D_x]=x\frac{?}{?x}?\frac{?}{?x}x=x\frac{?}{?x}?x\frac{?}{?x}?1=?1$$

如果兩個(gè)線性算子的交換子為0就稱它們滿足交換律。

波函數(shù)空間的離散基

波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正交基

稱$\{u_i{\}}_{i\ge 1}?\mathcal{F}$是$\mathcal{F}$的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，如果

$(u_i,u_j)={\delta }_{ij}$，其中${\delta }_{ij}$是Kronecker符號(hào)

$?\psi \in \mathcal{F}$, $?!\{c_i{\}}_{i\ge 1}?\mathbb{C}$, $$\psi =\sum _i{c}_i{u}_i$$稱$\{c_i{\}}_{c_i}$ represent $\psi$ in the $\{u_i{\}}_{i\ge 1}$ basis，這里的$c_j$滿足
$$(u_j,\psi )=(u_j,\sum _i{c}_i{u}_i)=\sum _i{c}_i{\delta }_{ji}=c_j$$

從數(shù)學(xué)上來看$\{c_i{\}}_{i\ge 1}$就相當(dāng)于$\psi$在$\{u_i{\}}_{i\ge 1}$下的坐標(biāo)，在計(jì)算內(nèi)積時(shí)也確實(shí)可以把它當(dāng)成標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)使用，比如$\psi$的表示為$\{c_i\}$，$?$的為$\{b_i\}$，則
$$(?,\psi )=(\sum _i{b}_i{u}_i,\sum _j{c}_j{u}_j)=\sum _{i,j}{b}_i^{?}{c}_j{\delta }_{ij}=\sum _i{b}_i^{?}{c}_i$$

Closure Relation

考慮$(u_i,u_j)={\delta }_{ij}$這個(gè)關(guān)系，因?yàn)?br /> $$\begin{gathered} \psi (\text{r})=\sum _i{c}_i{u}_i(\text{r})=\sum _i(u_i,\psi )u_i(\text{r}) \\ =\sum _i\left[\int u_i^{?}(\text{r})\psi ({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }\right]u_i(\text{r})=\int \psi (\text{r})\left[\sum _i{u}_i(\text{r})u^{?}({\text{r}}^{\prime })\right]d^3{\text{r}}^{\prime }=\psi (\text{r}) \end{gathered}$$

要使這個(gè)恒等式成立，那么
$$\sum _i{u}_i(\text{r})u_i^{?}({\text{r}}^{\prime })=\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

這個(gè)關(guān)系被稱為closure relation，它的意義是在數(shù)學(xué)上保證基的定義與波函數(shù)在基下的表示不存在矛盾。

在已知closure relation的情況下，要得到波函數(shù)$\psi$的展開式可以直接用：
$$\psi (\text{r})=\int \psi ({\text{r}}^{\prime })\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }=\int \psi ({\text{r}}^{\prime })\sum _i{u}_i(\text{r})u_i^{?}({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }$$

進(jìn)行計(jì)算。

波函數(shù)空間的連續(xù)基

上面討論的基是可列的，也可以構(gòu)造不可列的基。稱$\{w_{\alpha }\}$為$\mathcal{F}$的連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)正交基，如果$(w_{\alpha },w_{{\alpha }^{\prime }})=\delta (\alpha ?{\alpha }^{\prime })$，它的closure relation為
$$\int w_{\alpha }(\text{r})w_{\alpha }^{?}({\text{r}}^{\prime })d\alpha =\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

此時(shí)波函數(shù)在基下的表示為$c(\alpha )$：
$$c(\alpha )=(w_{\alpha },\psi )=\int w_{\alpha }^{?}({\text{r}}^{\prime })\psi ({\text{r}}^{\prime })d^3{\text{r}}^{\prime }$$

不屬于波函數(shù)空間的基
有的時(shí)候也會(huì)用不屬于$\mathcal{F}$的基，比如
$$w_{\text{p}}(\text{r})=\frac{1}{(2\pi ?{)}^{3/2}}{e}^{i\text{p}?\text{r}/?}$$

這里的指標(biāo)$\text{p}$代表動(dòng)量。

不屬于波函數(shù)空間的基：Dirac函數(shù)
再比如
$$w_{{\text{r}}^{\prime }}=\delta (\text{r}?{\text{r}}^{\prime })$$

這里的指標(biāo)${\text{r}}^{\prime }$代表位移。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学6 单个粒子的波函数空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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