UA OPTI512R 傅立葉光學導論9 卷積基礎

• • 卷積的圖示
  • 卷積的解析計算

之前介紹LSI時，我們提到過如果輸入為$\delta (x)$時，輸出為脈沖響應函數$$h(x)=\mathcal{L}[\delta (x)]$$則輸出為$f(x)$時，輸出為輸入與脈沖響應函數的卷積
$$g(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy=(f?h)(x)$$

做一個簡單的自變量變換$z=x?y$，則
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy={\int }_{?\infty }^{+\infty }h(z)f(x?z)dz=(h?f)(x)$$

所以$f?h$與$h?f$這兩種記法完全一樣。這一講介紹一些卷積的基礎知識。

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卷積的圖示

假設
$$\begin{gathered} f(x)=rect\left(\frac{x?1}{2}\right) \\ h(x)=ramp(x)rect\left(\frac{x?1.5}{3}\right) \end{gathered}$$

我們嘗試圖示
$$(f?h)(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy$$

計算重疊區域面積的過程圖示如下

卷積的解析計算

現在嘗試直接計算
$$\begin{array}{rl}(f?h)(x)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }rect\left(\frac{y?1}{2}\right)ramp(x?y)rect\left(\frac{(x?y)?1.5}{3}\right)dy\\ & =?\begin{array}{l}0,x<0\\ {\int }_0^x(x?y)dy=\frac{x^2}{2},0\le x<2\\ {\int }_0^2(x?y)dy=2(x?1),2\le x<3\\ {\int }_{x?3}^2(x?y)dy=\frac{?x^2+4x+5}{2},3\le x<5\\ 0,x\ge 5\end{array}\end{array}$$

怎么說呢，要解析地算出卷積的表達式其實就是算積分或者求和/求級數，如果impulse response和input的形式都很簡單，解析計算還可以，但函數形式比較復雜的話解析計算就行不通了，后續在介紹完卷積的性質后會介紹計算卷積的數值方法。

例1 計算下面兩個函數的卷積
$$f(x)=rect\left(\frac{x?1}{2}\right),h(x)=2rect(x?0.5)$$

$$\begin{array}{rl}(f?h)(x)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(y)h(x?y)dy\\ & =2{\int }_{?\infty }^{+\infty }rect\left(\frac{y?1}{2}\right)rect((x?y)?0.5)dy\\ & =2{\int }_{?\infty }^{+\infty }{\chi }_{(0,2)}(y){\chi }_{(x?1,x)}(y)dy\\ & =2{\int }_{?\infty }^{+\infty }{\chi }_{(0,2)\cap (x?1,x)}(y)dy\\ & =?\begin{array}{l}0,x<0\\ 2{\int }_0^{x}dy=2x,0\le x<1\\ 2{\int }_{x?1}^{x}dy=2,1\le x<2\\ 2{\int }_{x?1}^{2}dy=6?2x,2\le x<3\\ 0,x\ge 3\end{array}\end{array}$$

例2 卷積與Fresnel衍射

考慮二元函數作為LSI的輸入：
$$g(x_1,x_2)=\mathcal{L}[f(x_1,x_2)]$$

假設$\delta (x_1,x_2)$作為輸入時脈沖響應函數為$h(x_1,x_2)$，則
$$g(x_1,x_2)={?}_{?\infty }^{+\infty }f(y_1,y_2)h(x_1?y_1,x_2?y_2)d{y}_{1}d{y}_2=(f?h)(x_1,x_2)$$

這類結果可以自然推廣到$n$元函數。考慮$\text{x}=(x_1,x_2,?,x_n{)}^{\prime }$,
$$g(\text{x})=\mathcal{L}[f(\text{x})]$$

假設$\delta (\text{x})$作為輸入時脈沖響應函數為$h(\text{x})$，則
$$g(\text{x})={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\text{y})h(\text{x}?\text{y})d\text{y}=(f?h)(\text{x})$$

考慮波前為$u_i(x,y)$的光，假設材料透光性用$P(x,y)$描述，比如如果是圓孔的話可以用cylinder function，經過材料后，波前變為$$u_1(x,y)=u_i(x,y)P(x,y)$$

根據Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral的Kirchoff近似，將波前$u_1$上的每一點$(x^{\prime },y^{\prime },0)$視為新的光源，傳播到$(x,y,z)$時，波前為
$$u_2(x,y)={?}_{?\infty }^{+\infty }{u}_1(x^{\prime },y^{\prime })\frac{z}{j\lambda r}\frac{e^{jkr}}{r}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }$$

使用Fresnel衍射的近似方法（Fresnel衍射的含義是我們觀察$u_2$的地方與透光材料之間的距離相比透光材料的孔徑非常大，所以在$z/(j\lambda r)$中，取$z\approx r$，然后用前兩階Taylor展開近似$\frac{e^{jkr}}{r}$），
$$\begin{array}{rl}{u}_2(x,y)& =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{?}_{P(x,y)}{u}_i(x^{\prime },y^{\prime })e^{j\frac{\pi }{\lambda z}[(x?x^{\prime }{)}^2+(y?y^{\prime }{)}^2]}d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }\\ & =(u_1?h)(x,y),h=e^{j\frac{\pi }{\lambda z}(x^2+y^2)}\end{array}$$

也就是說，當我們并不關注這個衍射系統的設計，只想知道輸入的波形與輸出的波形之間的關系時，可以把它看成一個LSI，其中$h$被稱為Fresnel Diffraction Impulse Response。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论9 卷积基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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