UA OPTI570 量子力學(xué) Quasi-classical states與Displacement Operator

• • 在經(jīng)典諧振子中引入Displacement參數(shù)
  • Displacement Operator

關(guān)于諧振子，量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)之間有很重要的關(guān)聯(lián)：當(dāng)諧振子的能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于$?w$時，量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果應(yīng)該一致。但是在量子諧振子的穩(wěn)定態(tài)下，位移與動量的均值為0，而在經(jīng)典力學(xué)中，位移與動量都是關(guān)于時間的函數(shù)，二者只有在諧振子能量為0時才會保持為0。所以一個很自然的問題是：能否構(gòu)造一些量子態(tài)，在這些量子態(tài)下，位移與動量的均值隨時間變換的規(guī)律與經(jīng)典力學(xué)中位移與動量隨時間變化的規(guī)律類似？滿足這樣的條件的量子態(tài)被稱為quasi-classical states或者coherent states。

在經(jīng)典諧振子中引入Displacement參數(shù)

經(jīng)典力學(xué)中1-D諧振子滿足
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=p/m\\ \dot{p}=?m{w}^{2}x\end{array}$$

引入quantum length scale $\sigma =\sqrt{\frac{?}{mw}}$，定義
$$\hat{x}=x/\sigma ,\hat{p}=\sigma p/?$$

代入到原方程中，
$$\{\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\hat{x}=w\hat{p}\\ \frac{d}{dt}\hat{p}=?w\hat{x}\end{array}$$

類比湮滅算符，引入
$$\alpha (t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}+i\hat{p}\right)$$

則$\alpha (t)$在復(fù)平面中的軌跡就是諧振子在相空間$(\hat{x}/\sqrt{2},\hat{p}/\sqrt{2})$中的軌跡，它滿足
$$\frac{d}{dt}\alpha (t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dt}\hat{x}+i\frac{d}{dt}\hat{p}\right)=?iw\alpha (t),\alpha (t)={\alpha }_0{e}^{?iwt}$$

其中${\alpha }_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}(0)+i\hat{p}(0)\right)$，所以$\alpha (t)$的軌跡是一個圓：

系統(tǒng)的能量為
$$\frac{[p(0){]}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2[x(0){]}^2=\frac{?w}{2}[(\hat{x}(0){)}^2+(\hat{p}(0){)}^2]=?w|{\alpha }_0{|}^2$$

在經(jīng)典力學(xué)中$|{\alpha }_0|>>1$

Displacement Operator

定義
$$\hat{D}({\alpha }_0)=e^{{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}?{\alpha }_0^{?}\hat{a}}$$

其中$\hat{a}$是湮滅算符，${\alpha }_0$是$\hat{a}$的某個本征值
$${\alpha }_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{?X?}{\sigma }+i\frac{\sigma ?P?}{?}\right),\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\hat{X}}{\sigma }+i\frac{\sigma \hat{P}}{?}\right)$$

稱$\hat{D}({\alpha }_0)$為displacement operator，它是一個酉算符，因?yàn)?br /> $${\hat{D}}^{?}({\alpha }_0)\hat{D}({\alpha }_0)=e^{{\alpha }_0^{?}\hat{a}?{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}}{e}^{{\alpha }_0{\hat{a}}^{?}?{\alpha }_0^{?}\hat{a}}=1$$

另外從$\hat{D}({\alpha }_0)$的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，${\hat{D}}^{?}({\alpha }_0)=\hat{D}(?{\alpha }_0)$。這個算符的作用是把ground state $|{?}_0?$變成某個coherent state：
$$\hat{D}({\alpha }_0)|{?}_0?=|{\alpha }_0?$$

或者把某個coherent state $|{\alpha }_1?$變成另一個coherent state：
$$\hat{D}({\alpha }_2)|{\alpha }_1?=|{\alpha }_1+{\alpha }_2?$$

如果哈密頓量是與時間無關(guān)的，則薛定諤時間演化算符為
$$\hat{U}(t,0)=e^{?iwt}$$

由此可以計算coherent state的演化：
$$|\alpha (t)?=\hat{U}(t,0)|{\alpha }_0?=|{\alpha }_0{e}^{?iwt}?$$

這就與前文經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)出的諧振子的$\alpha (t)$一致了。

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總結(jié)

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