UA OPTI512R 傅立葉光學導論16 Nyquist-Shannon采樣定理

• • 周期性采樣的數學表示
  • Nyquist-Shannon采樣定理

因為計算機只能處理離散數據，所以即使真實信號是連續的，我們也只能采集它的一些離散樣本輸入計算機中做后續處理。這種用離散序列表示連續信號的操作叫做采樣(sampling)。根據每次采樣間隔是否均勻可以把采樣分為周期性采樣(periodic sampling)與非周期性采樣(non-periodic sampling)，這一講討論周期性采樣。

周期性采樣的數學表示

之前介紹光學中常用特殊函數時介紹了comb函數，它的定義是
$$comb(x)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }\delta (x?n)$$

根據Dirac函數的sifting property，comb函數與函數$f(x)$相乘時，作用是把$f(x)$變成序列$\{f(n)\}$，也就是每間隔1單位做一次采樣，假設我們希望的采樣間隔為$\Delta$，則只需要用$f(x)$與$comb(x/\Delta )$相乘就能得到間隔為$\Delta$的樣本序列了。由此我們定義信號$f(x)$的采樣間隔為$\Delta$的采樣函數(sampled function)為
$$f_S(x)=f(x)?\left(\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right)$$

其中$1/\Delta$的作用是做標準化，保證采樣得到的離散信號相對源信號不會被放大或者縮小，從數學上講它的作用是保證脈沖函數的歸一性${\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{1}{\Delta }\delta (x/\Delta ?n)dx=1={\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?n\Delta )dx$，所以
$$f_S(x)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x?x_n),x_n=n\Delta$$

采樣函數的頻率譜
假設$F(\xi )=\mathcal{F}[f(x)]$，則$$F_S(\xi )=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }F(\xi ?n{\xi }_S)$$

其中${\xi }_S=\frac{1}{\Delta }$被稱為采樣頻率，這個結果說明采樣函數的頻率譜就是源信號的頻率譜平移$\{n{\xi }_S\}$后的疊加。

用卷積定理可以得到上述結果：
$$\begin{array}{rl}{F}_S(\xi )& =\mathcal{F}\left[f(x)?\left(\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right)\right]\\ & =\mathcal{F}[f(x)]?\mathcal{F}\left[\frac{1}{\Delta }comb(x/\Delta )\right]\\ & =F(\xi )?comb(\xi /{\xi }_S)\\ & =F(\xi )?\sum _{n=?\infty }^{+\infty }\delta (\xi ?n{\xi }_S)\\ & =\sum _{n=?\infty }^{+\infty }F(\xi ?n{\xi }_S)\end{array}$$

Nyquist-Shannon采樣定理

Band-limited Function 在某個區間內有非零頻率譜的函數被稱為Band-limited Function，用$f_B(x)$來表示，其中$B$代表帶寬，則它的數學定義為
$$F_B(\xi )=\mathcal{F}[f_B(x)]\{\begin{array}{l}>0,|\xi |\le \frac{B}{2}\\ =0,|\xi |>\frac{B}{2}\end{array}$$

采樣定理 這個定理想討論的問題是離散的樣本序列能不能代表完整的信號，畢竟把連續信號用離散序列表示本身是有信息損失的。這個問題在Shannon之前，Whittaker、Nyquist等人已經討論過了，到Shannon時候，他建立了完整的理論，也就是現在非常有用的信息論，他認為源信號是Band-limited Function時，只要采樣頻率大于源信號頻率譜的帶寬（${\xi }_S>B$），那么采樣得到的離散信號就可以完美得重構出源信號。

Shannon的思想可以用一個很簡單的filter論證，

現在我們有采樣函數的頻譜$F_S(\xi )$，引入一個濾波器
$$\begin{gathered} \mathcal{F}[h(x)]=H(\xi ) \\ h(x)=Bsinc(B),H(\xi )=rect(\xi /B) \end{gathered}$$

采樣函數的頻譜與這個濾波器作用后的結果為
$$\hat{F}(\xi )=F_S(\xi )H(\xi )=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }F(\xi ?n{\xi }_S)H(\xi )$$

因為$H(\xi )=rect(\xi /B)=0$，$?|\xi |\ge B/2$，也就是說在一個帶寬以外的頻譜無法通過濾波器，只有$n=0$時的頻譜$F(\xi )$可以保留下來，所以${\xi }_S>B$時，
$$\hat{F}(\xi )=F(\xi )$$

也即通過采樣函數可以完美還原出源信號的頻譜。

根據卷積定理，
$$\begin{gathered} \hat{f}(x)={\mathcal{F}}^{?1}[F_S(\xi )H(\xi )]=f_S(x)?h(x) \\ =\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(x_n)\delta (x?x_n)?Bsinc(Bx)=B\sum _{n=?\infty }^{+\infty }f(x_n)sinc(B(x?x_n)) \end{gathered}$$

相當于用sinc曲線連接離散序列$\{f(x_n)\}$做插值來還原$f(x)$，當${\xi }_S>B$時，$\hat{f}(x)\propto f(x)$。

如果${\xi }_S<B$，則組成$F_S(\xi )$的各段頻域會重疊，用$H(\xi )$這個濾波器得到的頻域包含左右兩端重疊部分，導致還原出的頻譜$\hat{F}(\xi )$與源信號頻域$F(\xi )$不一致。

總結

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