$\newcommand\Im{\operatorname{Im}}$

$\newcommand\Ker{\operatorname{Ker}}$

$\newcommand\grad{\operatorname{grad}}$

$\newcommand\div{\operatorname{div}}$

$\newcommand\rot{\operatorname{rot}}$

$\newcommand\R{\mathbb{R}}$

本文主要來(lái)自于?Ib H. Madsen,Jxrgen Tornehave《從微積分到上同調(diào)》

故事要從牛頓-萊布尼茲公式說(shuō)起。

(微積分基本定理)若$f(x)$是定義在開區(qū)間$(a,b)$上的連續(xù)函數(shù)$\Rightarrow$存在$F$,使得$F'=f$.

這個(gè)定理是現(xiàn)代微積分的基石。但是由于這個(gè)定理只描述了一元函數(shù)的情況，人們自然想“是否能把它推廣到二元函數(shù)”？比如說(shuō)，給定了一個(gè)函數(shù)$f=(f_1,f_2):U\to \mathbb{R}^2$,為定義在$\mathbb{R}^2$上開集$U$的光滑函數(shù)，那是否存在$F:U\to\mathbb{R}$,使得$\nabla F=f$?

也就是說(shuō)，是否$\exists F$,使得\[\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}\right)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial F}{\partial x_2}\right)=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\]

(PS:這也給出了一個(gè)$F$存在的必要條件，也就是需要$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$)

但是滿足了必要條件卻不一定存在這樣的$F$,書中就給出了這樣一個(gè)經(jīng)典的例子：

例子1 $U=\mathbb{R}^2\backslash \{0\},f:U\to\mathbb{R}^2, (x_1,x_2)\mapsto (\frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2},\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2})$

?我們認(rèn)為，不存在$F:U\to\mathbb{R}^2$,使得$\frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1,\frac{\partial ?F}{\partial ?x_2}=f_2$. 否則的話就有

\[\fracze8trgl8bvbq{d\theta}F(\cos{\theta},\sin{\theta})=\frac{\partial F}{\partial x_1}(\cos{\theta},\sin{\theta})(-\sin{\theta})+\frac{\partial F}{\partial x_2}(\cos{\theta},\sin{\theta})(\cos{\theta})=1\]

但是另外又有\(zhòng)[\int_{0}^{2\pi}\fracze8trgl8bvbq{d\theta}F(\cos{\theta},\sin{\theta})d\theta=F(\cos{\theta},\sin{\theta})|_{0}^{2\pi}=0\]

矛盾！

?例子2 $U=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2|x_1^2+x_2^2<1\}$為開集,則$f:U\to\mathbb{R}^2,(x_1,x_2)\mapsto (x_1^2+x_2,x_1)$有“原函數(shù)” $F(x_1,x_2)=\frac{1}{3}x^3+x_1x_2$

為什么這個(gè)函數(shù)存在所謂的“原函數(shù)”呢？其實(shí)這和區(qū)域的性質(zhì)有關(guān)，實(shí)際上，定義在這個(gè)單位圓盤上滿足必要條件的函數(shù)都有“原函數(shù)”。更推廣地我們可以刻畫這個(gè)區(qū)域，也即“星形區(qū)域”(Star-shaped).

定義 $U\in\mathbb{R}^2$為開集，$U$被稱為關(guān)于$x_0$的星形區(qū)域，如果對(duì)于$\forall x\in U$,線段$\overline{x_0 x}\subset U$.

?

如圖就是一個(gè)星形區(qū)域。而例1中的區(qū)域并非星形的，因?yàn)槿我?x_0$，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)不能連線段在區(qū)域內(nèi)。

?星形區(qū)域有什么好的性質(zhì)呢？正如前面所說(shuō)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，就有$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$與存在原函數(shù)$F$等價(jià)！具體定理敘述如下：

?定理1 $U\in\mathbb{R}^2$是開的星形區(qū)域，且$f:U\to\mathbb{R}^2$光滑(實(shí)際上只要可導(dǎo)似乎就行了)，$f=(f_1,f_2)$.且$\frac{\partial f_1}{\partial x_2}=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$,那么$\exists F:U\to\mathbb{R}$ 光滑，且有$\frac{\partial F}{\partial x_1}=f_1,\frac{\partial F}{\partial x_2}=f_2$.

?

WLOG，我們可設(shè)$U$關(guān)于$x_0=0\in \mathbb{R}^2$是星形的。令

\[F(x_1,x_2)=\int_{0}^{1}(x_1 f_1(tx_1,tx_2)+x_2 f_2(tx_1,tx_2))dt\]

那么計(jì)算$\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2)$,可以得到

\[\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x_1}F(x_1,x_2)&=\int_0^1 [f_1(tx_1,tx_2)+tx_1\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)+tx_2\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(tx_1,tx_2)]dt\\ &= \int_{0}^1\fracze8trgl8bvbq{dt}(tf(tx_1,tx_2))=f_1(x_1,x_2)\end{align*}\]

同理亦可得另一邊的等式。$\square$

為什么星形區(qū)域有兩者等價(jià)，而去掉一點(diǎn)的區(qū)域卻不行呢？我們?cè)儆脠?chǎng)論的符號(hào)來(lái)敘述下以上的事實(shí)。

$U\in\mathbb{R}^2$,我們要研究的是$C^{\infty}(U,\mathbb{R}^k)=\{\mbox{smooth function on }U\}$,這個(gè)可看成一個(gè)線性空間。

我們定義符號(hào)$\grad:C^{\infty}(U,\mathbb{R})\to C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)$,使得$\grad(f)=(\frac{\partial f_1}{\partial x_1},\frac{\partial f_2}{\partial x_2})$

以及$\rot:C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2)\to C^{\infty}(U,\mathbb{R})$,使得$\rot((f_1,f_2))=\frac{\partial f_1}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$

則我們可以給出如下的鏈：

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
C^{\infty}(U,\mathbb{R}) @>{\grad}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^2) @>{\rot}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R})
\end{CD}$$

有兩條性質(zhì)

$\rot\circ\grad = 0$(由于導(dǎo)數(shù)可交換)

$\Im(\grad)\in\Ker(\rot)$（由1立刻得到）

為了刻畫這兩者之間的包涵關(guān)系，我們定義

$$H^1(U):=\frac{\Ker(\rot)}{\Im(\grad)}={\alpha+\Im(\grad)}$$

這樣一個(gè)商群就是所謂的第一上同調(diào)群，代表元$[\alpha]=[\beta]\Leftrightarrow \alpha-\beta\in\Im(\grad)$，值得一提的是$H^1(U)$通常是有限維的。

前面的定理1讓我們知道，對(duì)于開星形區(qū)域$U$,就有$\Ker(\rot)\in\Im(\grad)$,從而$H^1(U)$中只有$0$元（這也是定理1的重述）。而從例子1我們知道，對(duì)于$U=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$,$H^1(U)\not = 0$.

同樣我們可以定義第0上同調(diào)群，也就是$H^0(U)=\Ker(\grad)$

我們同樣可以計(jì)算某些區(qū)域的第0上同調(diào)群，定理如下：

定理2 $U$為$\mathbb{R}^2$中連通開集，那么有$H^0(U)=\mathbb{R}$

這個(gè)證明也很顯然，因?yàn)?f$總在一個(gè)局部為常數(shù)，而且集合連通，使$f$為常數(shù)的區(qū)域既開又閉，從而在整個(gè)區(qū)域上都為常數(shù)。

?

考慮完二維的情況，我們同樣可以考慮三維的情況，這時(shí)候有這樣一個(gè)鏈

$$\begin{CD}
C^{\infty}(U,\mathbb{R}) @>{\grad}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^3) @>{\rot}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R}^3)@>{\div}>> C^{\infty}(U,\mathbb{R})
\end{CD}$$

這三個(gè)東西的定義經(jīng)過計(jì)算同樣有 $\rot\circ\grad=0,\div\circ\rot=0$

所以類似地我們定義幾個(gè)上同調(diào)群，即

$$H^0(U)=\Ker(\grad),H^1(U)=\frac{\Ker(\rot)}{\Im(\grad)},H^2(U)=\frac{\Ker(\div)}{\Im(\rot)}$$

(讀到這想必也發(fā)現(xiàn)了，同調(diào)與上同調(diào)無(wú)非就是兩個(gè)算子$\partial_1\circ\partial_2=0$定義出的群$\Ker(\partial_1)/\Im(\partial_2)$而已，沒什么高深的知識(shí)，不過在拓?fù)渲袇s非常有用)

?定理3 在$\mathbb{R}^3$中的開星形區(qū)域$U$，有$H^0(U)=\mathbb{R},H^1(U)=0,H^2(U)=0$

前兩個(gè)同調(diào)用前面的方法即可，我們需要算的是$H^2(U)=0$,只需要對(duì)于$\forall F\in\Ker(\div)$，找到$G$使得$\rot(G)=F$。而顯然

\[G(\vec{x})=\int_0^1(F(t\vec{x})\times(t\vec{x}))dt\]

滿足條件。

同樣我們也舉出例子，讓$H^1(U)\not = 0$.

例3 $S=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3,x_1^2+x_2^2=1,x_3=0\}$,而區(qū)域$U=\mathbb{R}^3\backslash S$,則令$$f(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{-x_1x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},\frac{-x_2x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},\frac{x_1^2+x_2^2-1}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2}\right)$$

我們聲稱$\rot(f)=0$,即$[f]\in H^1(U)$但是$H^1(U)\not = 0$,否則若$\exists F\in C^{\infty}(U,\mathbb{R})$，使得$\grad{F}=f$

那么考慮曲線$\gamma(t)=(\sqrt{1+\cos{t}},0,\sin{t}),-\pi\le t\le \pi$,則有$\fracze8trgl8bvbq{dt}F(\gamma(t))=1,\int_{-\pi}^{\pi}\fracze8trgl8bvbq{dt}F(\gamma(t))dt=0$.

從上我們可以大致有這樣一點(diǎn)想法：如果$H^1(U)\not = 0$,那就有個(gè)$1$維的“洞”，那么是不是$H^2(U)\not =0$就表明有$2$為的洞了呢？這個(gè)博主還不是很明白，需要繼續(xù)學(xué)習(xí)，來(lái)補(bǔ)充這篇文章。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/misaka01034/p/FromCalToCoH.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的从微积分到上同调的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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