magic矩阵
魔方矩陣
? ? ?魔方矩陣是有相同的行數和列數，并在每行每列、對角線上的和都相等。你能構造任何大小（除了2x2）的魔方矩陣。
1.歷史
? ? ? 魔方又稱幻方、縱橫圖、九宮圖，最早記錄于我國古代的洛書。據說夏禹治水時，河南洛陽附近的大河里浮出了一只烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底制服。后人稱之為"洛書"或"河圖"，又叫河洛圖。 南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》里介紹了這種方法：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然后把上、下兩數對調，左、右兩數也對調；最后再把中部四數各向外面挺出，幻方就出現了。 (摘自《趣味數學辭典》) 在西方，阿爾布雷特·丟勒于1514年創作的木雕《憂郁》是最早關于魔方矩陣的記載。有學者認為，魔方矩陣和風靡一時的煉金術有關。幾個世紀以來，魔方矩陣吸引了無數的學者和數學愛好者。本杰明·富蘭克林就做過有關魔方矩陣的實驗。 最簡單的魔方就是平面魔方，還有立體魔方、高次魔方等。對于立體魔方、高次魔方世界上很多數學家仍在研究，本文只討論平面魔方。 每行、每列及對角線之和被稱為魔術常量或魔法總和，M。 其中，n為矩陣階數。 例如，如果n=3，則M=[3*(3^2+1)]/2 = 15.2.魔方構造
?? ? 平面魔方的一般定義：將自然數 1 到 N^2， 排列 N 行 N 列的方陣，使每行、每列及兩條主對角線上的 N 個數的和都等于N (N^2+1)/2，這樣的方陣稱為 N 階幻方。?
通過搜索整理后，得到下面的算法：?
對平面魔方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式)N 為奇數時
(1) 將1放在第一行中間一列; (2) 從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1 (3) 如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。 例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣減1; (4) 如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時， 則把下一個數放在上一個數的下面。N為4的倍數時
采用對稱元素交換法。 首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣 然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上的數關于大方陣中心作中心對稱交換（注意是各4×4子方陣對角線上的數）， 即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數不變。(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)N 為其它偶數時
? ? ? 當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。 按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值 上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v) 即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4 四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ② 然后作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(jn-t+1), 注意其中j可以取零。 a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換 其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。3.算法設計
先在矩陣第一行中間的位置上放1，然后把數字按照升序沿著左上角放置到矩陣中。如果越界了，就假設周圍還有一個矩陣，將數字放到那個位置上；如果那個位置已經被占據了，就跳過該位置放到下面的位置，然后重新按照原來的方法放。如圖：在5×5的魔術矩陣中，放完1以后，就把2放到1的左上角，但是此時已經越界了。假設，在原來的矩陣上面還有一個矩陣，則數字2所放的位置應該是在最后一行的第二個位置，接下去就要把數字3放到2的左上角，依次放下去，當放到6的時候，由于1已經將下一個位置占了，所以就放到5下面的位置。依照這樣的規律直到把數字都放完。4.魔方函數
Matlab中自動生成魔方矩陣的函數: magic(n) n是矩陣維數,例如在MATLAB命令窗口輸入
magic(5) ，將隨機產生5階魔方陣。
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總結
