模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质
1965年，美國加利福尼亞大學(xué)控制論專家扎德(L. A. Zadeh)教授在《信息與 控制》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文《模糊集合》,這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生.扎 德是世界公認(rèn)的系統(tǒng)埋論及其應(yīng)用領(lǐng)域最有貢獻(xiàn)的人之一，被譽為“糊集之父“,
在人類社會和各個科學(xué)領(lǐng)域中,人們所遇到的各種量大體上可以分成兩大類：確定性的與不確定性的,而不確定性又可分為隨機(jī)性和模糊性.人們正是用三種數(shù)學(xué)來分別研究客觀世界中不同的量,即：
- 第一類是確定性數(shù)學(xué)模型.這類模型研究的對象具有確定性,對象之間具有必然的關(guān)系,最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的數(shù)學(xué)模型.
- 第二類是隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型.這類模型研兗的對象具有隨機(jī)性,對象之間具有偶然的關(guān)系，如用概率分布方法、馬爾可夫(Markov)鏈所建立的數(shù)學(xué)模型.
- 第三類是模糊性數(shù)學(xué)模型.這類模型所研究的對象與對象之間的關(guān)系具有模糊性.
1、從特征函數(shù)定義模糊集
經(jīng)典集合的特征函數(shù)：
χA:U→{0,1}x?χA(x)={1,x∈A0,x?A\begin{aligned} \chi_{A}: & U \rightarrow\{0,1\} \\ x & \mapsto \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{array}\right. \end{aligned} χA?:x?U→{0,1}?χA?(x)={1,0,?x∈Ax∈/?A??
模糊集合的特征函數(shù)
μA:U→[0,1]x?μA(x)∈[0,1]\begin{aligned} \mu_{A}: & U \rightarrow[0,1] \\ & x \vdash \mu_{A}(x) \in[0,1] \end{aligned} μA?:?U→[0,1]x?μA?(x)∈[0,1]?
- 例: 設(shè)論域U= [0,200](單位:歲)表示人的年齡,“年輕”(Y)與“年老”(Q)兩個模糊集,其隸屬函數(shù)(圖1.5)分別為
Y(x)={1,[1+(x?255)2]?1,0,0?x?2525<x?200Q(x)={[1+(x?505)?2]?1,50<x?200\begin{array}{l} \qquad \begin{aligned} Y(x)=\left\{\begin{array}{c} 1, \\ {\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-1},} \\ 0, \end{array}\right.& \begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 25 \\ 25<x \leqslant 200 \end{array} \\ Q(x)=\left\{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2}\right]^{-1},\right.& 50<x \leqslant 200 \end{aligned} \end{array} Y(x)=??????1,[1+(5x?25?)2]?1,0,?Q(x)=????[1+(5x?50?)?2]?1,?0?x?2525<x?200?50<x?200??
2、模糊集合的表示方法
- 扎德表示法：
A=A(x1)x1+A(x2)x2+?+A(xn)xnA=\frac{A\left(x_{1}\right)}{x_{1}}+\frac{A\left(x_{2}\right)}{x_{2}}+\cdots+\frac{A\left(x_{n}\right)}{x_{n}} A=x1?A(x1?)?+x2?A(x2?)?+?+xn?A(xn?)?
這里“A(xi)/xiA(x_i)/x_iA(xi?)/xi?”不是分?jǐn)?shù)，“十”也不表示求和，只有符母意義，它表示點 xix_{i}xi? 對模糊集 AAA 的隸屬度是A(xi).A \left(x_{i}\right) .A(xi?).
- 序偶表示法：
A={(x1,A2),(x2,A(x2)),?,(xn,A(xn)}A=\left\{\left(x_{1}, A_{2}\right),\left(x_{2}, A\left(x_{2}\right)\right), \cdots,\left(x_{n}, A\left(x_{n}\right)\right\}\right. A={(x1?,A2?),(x2?,A(x2?)),?,(xn?,A(xn?)}
- 向量表示法：
A=(A(x1),A(x2),?,A(xn))A=\left(A\left(x_{1}\right), A\left(x_{2}\right), \cdots, A\left(x_{n}\right)\right) A=(A(x1?),A(x2?),?,A(xn?))
一般地,若0?ai?1,i=1,2,?,n,0\leqslant a_{i} \leqslant 1, i=1,2, \cdots, n,0?ai??1,i=1,2,?,n, 則稱 a=(a1,a2,?,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)a=(a1?,a2?,?,an?) 為模糊向量. 由此可 知,模糊向置 a=(a1,a2,?,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)a=(a1?,a2?,?,an?) 可以表示論域 U={x1,x2,?,xn}U=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right\}U={x1?,x2?,?,xn?} 上的模糊集 AAA
- 例： A=′高個子′A='高個子'A=′高個子′可表示為以下兩種形式
A=0x1+0.1x2+0.4x3+0.5x4+0.8x5+1x6A=\frac{0}{x_{1}}+\frac{0.1}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{3}}+\frac{0.5}{x_{4}}+\frac{0.8}{x_{5}}+\frac{1}{x_{6}} A=x1?0?+x2?0.1?+x3?0.4?+x4?0.5?+x5?0.8?+x6?1?
或：
A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1)A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1) A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1)
- 無限集的表示法：
A=∫x∈UA(x)xA=\int_{x \in U} \frac{A(x)}{x} A=∫x∈U?xA(x)?
這里∫\int∫不是積分符號，A(x)/xA (x)/xA(x)/x也不是分?jǐn)?shù). 上例中的Y(年輕)，Q(年老)可分別表示為：
Y=∫x∈[0,25]1x+∫x∈(25,200][1+(x?255)2]?2xQ=∫0?1?500x+∫50?x?200[1+(x?505)?2?1]x\begin{array}{l} Y=\int_{x \in[0,25]} \frac{1}{x}+\int_{x \in(25, 200]} \frac{\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-2}}{x} \\ Q=\int_{0 \leqslant 1 \leqslant 50} \frac{0}{x}+\int_{50 \leqslant x \leqslant 200} \frac{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2 -1}\right]}{x} \end{array} Y=∫x∈[0,25]?x1?+∫x∈(25,200]?x[1+(5x?25?)2]?2?Q=∫0?1?50?x0?+∫50?x?200?x[1+(5x?50?)?2?1]??
3、模糊集合的運算性質(zhì)
-
基本運算定義
- 包含
A?B?A(x)?B(x),?x∈UA \subseteq B \Leftrightarrow A(x) \leqslant B(x), \quad \forall x \in U A?B?A(x)?B(x),?x∈U
- 相等
A=B?A(x)=B(x),?x∈UA=B \Leftrightarrow A(x)=B(x), \quad \forall x \in U A=B?A(x)=B(x),?x∈U
- 并：A∪B\quad A \cup BA∪B 的隸屬函數(shù) μ(x)\mu(x)μ(x) 為
(A∪B)(x)?def?A￣(x)∨B(x),?x∈U(A \cup B)(x) \stackrel{\text { def }}{\longrightarrow} \underline{A}(x) \vee B(x), \forall x \in U (A∪B)(x)??def??A?(x)∨B(x),?x∈U
- 交 A∩BA \cap BA∩B的隸屬函數(shù) μ(x)\mu(x)μ(x) 為
(A∩B)(x)=def?A(x)∧B￣(x),?x∈U(A \cap B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \wedge \underline{B}(x), \forall x \in U (A∩B)(x)=?def?A(x)∧B?(x),?x∈U
- 余 ACA^{C}AC 的隸屬函數(shù) μ(x)\mu(x)μ(x) 為
Ac(x)=def?1?A(x),?x∈U{A}^{c}(x) \stackrel{\text { def }}{=} 1-{A}(x), \forall x \in U Ac(x)=?def?1?A(x),?x∈U
４、并、交、余的運算性質(zhì)
- 冪等律
A∪A=A,A∩A=A\quad A \cup A=A, \quad A \cap A=A A∪A=A,A∩A=A
- 交換律
A∪B=B∪A,A∩B=B∩AA \cup B=B \cup A ,\quad A \cap B=B \cap A A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
- 結(jié)合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C), \quad(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)\\ (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
- 吸收律
A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=AA \cap(A \cup B)=A, \quad A \cup (A \cap B)=A A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A
- 分配律
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)\\ (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
- 0-1 律
A∪?=A,A∩?=?,U∪A=U,U∩A=AA \cup \varnothing=A, \quad A \cap \varnothing=\varnothing, \quad U \cup A=U, \quad U \cap A=A A∪?=A,A∩?=?,U∪A=U,U∩A=A
- 還原律
(Ac)c=A(A^{c})^c=A (Ac)c=A
- 對偶律
(A∪B)C=AC∩Bc,(A∩B)C=AC∪BC(A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{c}, \quad(A \cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C} (A∪B)C=AC∩Bc,(A∩B)C=AC∪BC
5、環(huán)和+^\hat{+}+^? 與乘積?\cdot?
- 環(huán)和
(A+^B)(x)=def?A(x)+B(x)?A(x)?B(x),?x∈U(A \hat{+} B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x)+{B}(x)-{A}(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U (A+^?B)(x)=?def?A(x)+B(x)?A(x)?B(x),?x∈U
- 乘積
(A?B)(x)=def?A(x)?B(x),?x∈U(A \cdot B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U (A?B)(x)=?def?A(x)?B(x),?x∈U
- 運算性質(zhì)
- 交換律：A+^B=B+^A,A?B=B?AA \hat{+} {B}={B} \hat{+} {A}, \quad {A} \cdot {B}={B} \cdot {A}A+^?B=B+^?A,A?B=B?A
- 結(jié)合律：(A+^B)+^C=A+^(B+^C),(A?B)?C=A?(B?C)(A \hat{+} {B}) \hat{+} {C}=A \hat{+}({B} \hat{+} {C}), \quad(A \cdot {B}) \cdot {C}={A} \cdot({B} \cdot C)(A+^?B)+^?C=A+^?(B+^?C),(A?B)?C=A?(B?C)
- 0-1律：A+^U=U,A?U=A,A+^?=A,A??=?A\hat{+} U=U, A \cdot U=A, \quad A \hat{+} \varnothing=A, \quad A \cdot \varnothing=\varnothingA+^?U=U,A?U=A,A+^??=A,A??=?
- 對偶律：(A+^B)C=AC?BC,(A?B)C=AC+^BC(A \hat{+} B)^{C}=A^{C} \cdot B^{C}, \quad(A \cdot B)^{C}=A^{C} \hat{+} B^{C}(A+^?B)C=AC?BC,(A?B)C=AC+^?BC
注：環(huán)和、乘積運算不滿足分配律、吸收律、冪等律和排中律。
6、其它算子
- 取大算子
a∨b=?def?(a,b),a?b=aba \vee b \stackrel{\text { def }}{\text { = }}(a, b), \quad a \cdot b=a b a∨b?=??def?(a,b),a?b=ab
- 有界和、取小算子
a⊕b=def?min?(1,a+b),a∧b=def?min?(a,b)a \oplus b \stackrel{\text { def }}{=} \min (1, a+b), \quad a \wedge b\stackrel{\text {def }}{=} \min (a, b) a⊕b=?def?min(1,a+b),a∧b=def?min(a,b)
- 愛因斯坦算子
aε+b=def?a+b1+ab,aε˙b=def?ab1+(1?a)(1?b)a \stackrel{+}{\varepsilon} b\stackrel{\text { def }}{=} \frac{a+b}{1+a b}, \quad a \dot{\varepsilon} b \stackrel{\text { def }}{=}\frac{ab}{1+(1-a)(1-b)} aε+b=?def?1+aba+b?,aε˙b=?def?1+(1?a)(1?b)ab?
- 哈梅徹算子
ar+b=def?a+^b?(1?r)abr+(1￣?r)(1?ab)ar?b=abr+(1?r)(a+^b)}r∈(0,+∞)\left.\begin{array}{l} a \overset{+}{r} b \stackrel{\text { def }}{=} \frac{a \hat{+} b-(1-r) a b}{r+(\overline{1}-r)(1-a b)} \\ a \overset{\cdot}{r} b= \frac{ab}{r+(1-r)(a \hat{+} b)} \end{array}\right\} r \in(0,+\infty) ar+b=?def?r+(1?r)(1?ab)a+^?b?(1?r)ab?ar?b=r+(1?r)(a+^?b)ab??????r∈(0,+∞)
- 雅格爾子
aYb=def?min?{1,(a?+bv)1/v},aλb=def?1?min?{1,[(1?a)v+(1?b)v]1/v},}v∈[1,+∞)\left.\begin{array}{l} a Y b \stackrel{\text { def }}{=} \min \left\{1,\left(a^{*}+b^{v}\right)^{1 / v}\right\}, \\ a \lambda b \stackrel{\text { def }}{=} 1-\min \left\{1,\left[(1-a)^{v}+(1-b)^{v}\right]^{1 / v}\right\}, \end{array}\right\} v \in[1,+\infty) aYb=?def?min{1,(a?+bv)1/v},aλb=?def?1?min{1,[(1?a)v+(1?b)v]1/v},?????v∈[1,+∞)
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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