文章目錄

• • • • 一、極限運算法則回顧
      • 二、四則運算中常犯的問題
      • 三、無窮小常犯的問題
      • 四、洛必達常犯的問題

初學極限運算的時候初學者總會犯一些問題，尤其當課程進度推進時，各種知識、方法不斷出現，這時如果掌握不牢固就很容易把自己弄暈。其實要掌握這些運算方法并不困難，記住這個要領： 各種運算法則的使用前提是每個步驟中涉及的極限一定都要存在是這些運算的前提（如果有分母，那么分母一定不能為零）。（無限個極限的情形單獨討論）

本文先總結把極限運算的各種常用方法，再針對一些具體的疑難點進行分解講解。大家可以根據自己的實際情況選擇性閱讀或者查閱。

一、極限運算法則回顧

• 最基本的運算法則 – 四則運算：

如果 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$, 那么

(1) $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$;

(2) $\lim [f(x)?g(x)]=\lim f(x)?\lim g(x)=A?B$

(3) 若又有 $B=0$, 則
$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$$

注：

1、只要是有限個極限進行計算都可以直接使用四則運算法則

2、常數直接參與所有四則運算（作為分母時不能為0）

3、上述結論對數列仍然成立

• 無窮小替換

（1）和差取大： 若 $\beta =\mathrm{o}(\alpha )$, 則 $\alpha \pm \beta ～\alpha$

（2）因式替換：若 $\alpha ～\beta ,$ 且 $\phi (x)$ 極限存在或有界$\lim \alpha \phi (x)=\lim \beta \phi (x)$

（2）若$\alpha ～\alpha ,\beta ～\beta$, 則$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{\beta }{\alpha }$ (兩個極限各自都要存在)

（3）和差替換:

• 條件：
  • $\alpha ～{\alpha }^{\prime },\beta ～{\beta }^{\prime }$
  • $\beta$ 與 $\alpha$ 不等價
• 結論： $\alpha ?\beta ～{\alpha }^{\prime }?{\beta }^{\prime },$ 且 $\lim \frac{\alpha ?\beta }{\gamma }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }?{\beta }^{\prime }}{\gamma }$

特別注意： $\alpha ～\beta$ 時此結論未必成立！！！！

后面無窮小部分詳細解釋

• 洛必達法則

(1) 當 $x\to a$ 時: $f(x)\to 0,F(x)\to 0$

(2) 在點 $a$ 的某去 心鄰域內 $,f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 都存在且$F^{\prime }(x)=0$

(3) ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在(或為無窮大)
則
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$
特別特別注意：上述的(1),(2),(3)必須全部同時滿足！

二、四則運算中常犯的問題

• 例1

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2?5x+4}{x?1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1?5+4}{1?1}=\frac{0}{0}=????$$

問題：這個極限怎么算啊？無窮小相除等于多少？

錯誤分析： 這道題是典型的分母為0的情形，正確的做法是先化簡，再求極限。

正解：
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2?5x+4}{x?1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x?4)(x?1)}{x?1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x?4)=1?4=?3$$

• 例2

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+1}?x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x?\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}?x)=\infty (\infty ?\infty )=???$$

問題：這種無窮大的極限怎么算啊？無窮大乘無窮大等于多少啊？無窮大減無窮大還是無窮大么？

錯誤分析： 上述極限中四則運算的前提不滿足，最后一個等號前每一項都是無窮大。正確的做法是先通分，再變換為滿足四則運算的形式進行計算。

正解：
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+1}?x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$$

三、無窮小常犯的問題

• 例3

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x?\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x?x}{x^3}=\frac{0}{0}=???$$

問題：$\frac{0}{0}$怎么又來了？這個怎么求啊？。。。。

錯誤分析： 上例是最常出錯的一種類型。回到替換法則部分不難看到在無窮小$\alpha ?\beta$替換時必須要特別注意$\alpha ～\beta$的情況。其根本原因在于：無窮小的減法有可能改變無窮小的階數。

比如：考慮$x\to 0$時的兩個無窮小：$\alpha =x^3+2x$和$\beta =x^3$。此時它們相減變成：
$$\alpha ?\beta =x^3+2x?x^3=2x$$
注意到原來的兩個無窮小都是$\alpha ,\beta ～x^3$，而現在它們的商變成了$\alpha ?\beta ～2x$。

而在本例中，更為特殊的情況出現了, $\tan x?\sin x$ 將原本低階的無窮小變成了高階。

正解：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x?\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x(1?\cos x)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x?\frac{1}{2}{x}^2}{x^3}=\frac{1}{2}$$
由此可見 $\tan x?\sin x～x^3$。

本例還可以用Taylor公式來進行解釋：

考慮兩個函數的Taylor展開：

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+?$

$\sin x=x?\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}??$

因此：
$$\tan x?\sin x=\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{8}+\frac{13x^7}{240}+\mathrm{o}\left(x^9\right)$$
對本例，其實還可以再簡化成：
$$\tan x?\sin x=\frac{x^3}{2}+\mathrm{o}\left(x^3\right)$$
因此：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x?\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}+\mathrm{o}\left(x^3\right)}{x^3}=\frac{1}{2}$$

四、洛必達常犯的問題

• 例4：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{6x}{6x?2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{6}{6}=1$$

問題：這個怎么和答案不對啊？。。。

錯誤分析： 洛必達法則使用的前提是，極限式必須是**不定型！**也就是說，必須是以下幾類的其中一種：

無窮大相關：$\infty ?\infty ,\frac{\infty }{\infty },1^{\infty }$

零、零與無窮大混合：$\frac{0}{0},0?\infty ,0^0,1^{\infty },{\infty }^0$

仔細觀察不難發現，原極限式中函數分子分母的極限都是存在的，因此直接計算即可。
正解：
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{6x}{6x?2}=\frac{{\lim }_{x\to 1}6x}{{\lim }_{x\to 1}(6x?2)}=\frac{6}{6?2}=\frac{3}{2}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有限个极限运算及常见错误小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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