抽樣分布：

• χ2 分布
• t 分布
• F 分布

樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷（statistic inference）的依據(jù)。在應(yīng)用時(shí)，往往不是直接使用樣本本身，而是針對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，利用這些樣本的函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

1. 常用統(tǒng)計(jì)量

設(shè) X1,X2,…,Xn 是來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣本，g(X1,X2,…,Xn) 是 X1,X2,…,Xn 的函數(shù)，若 g(?) 中不含未知參數(shù)，則稱(chēng) g(X1,X2,…,Xn)（函數(shù)）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

• 統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于所抽樣樣本 X1,X2,…,Xn 的函數(shù)；
• 因?yàn)?X1,X2,…,Xn 都是隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量 g(X1,X2,…,Xn) 是隨機(jī)變量的函數(shù)，因此統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量；
• 統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布；

設(shè) x1,x2,…,xn 是相應(yīng)于樣本 X1,X2,…,Xn 的樣本值，則稱(chēng) g(x1,x2,…,xn) 是 g(X1,X2,…,Xn) 的觀察值。

2. 常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量

下面列出幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量，設(shè) X1,X2,…,Xn 是來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣本，x1,x2,…,xn 是這一樣本的觀察值。

• 樣本均值：Xˉ=1n∑ni=1Xi
• 樣本方差：S2=1n?1∑ni=1(Xi?Xˉ)2=1n?1(∑ni=1X2i?nXˉ2)
• 樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S=1n?1∑ni=1(Xi?Xˉ)2????????????????√
• 樣本的 k 階原點(diǎn)矩（Xk=Xk?0）：Ak=1n∑ni=1Xki
• 樣本的 k 階中心矩：Bk=1n∑ni=1(Xi?Xˉ)k

3. χ2 分布

設(shè) X1,X2,…,Xn 是來(lái)自總體 N(0,1) 的樣本，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量：

χ2=X21+X22+…+X2n
服從自由度為 n 的 χ2 分布，記為 χ2～χ2(n)；

χ2 分布的可加性：

• χ21～χ2(n1),χ22～χ2(n2)，且二者相互獨(dú)立 ? χ21+χ22～χ2(n1+n2)

χ2 分布的數(shù)學(xué)期望和方差，若 χ2～χ2(n)，則有 E(χ2)=n,D(χ2)=2n

Xi～N(0,1)，則有 E(X2i)=D(Xi)=1，D(X2i)=E(X4i)?(E(X2i))2=3!!?1=2，所以有，

3. χ2 分布的分位點(diǎn)

對(duì)于給定的正數(shù) α，0<α<1，稱(chēng)滿足條件：

P{χ2>χ2α(n)}=α=∫∞χ2α(n)f(y)dy

的點(diǎn) χ2α(n) 位 χ2(n) 分布的上 α 分位點(diǎn)。

4. 例題

• 設(shè) X1,X2,X3,X4 是來(lái)自正態(tài)整體 N(0,22) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記 Y=a(X1?2X2)2+b(3X1?4X2)2，已知 a,b 為常數(shù)，且 Y～χ2(n)，則 n=?：

  χ2(n) 分布要求是多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的加和（至少是一個(gè)），X1?2X2～N(0,20),3X1?4X2～N(0,100)，因此 X1?2X220√～N(0,1)，3X1?4X210～(0,1)：

  • a=120，b=1100 ? n = 2
  • a=120,b=0 或者 a=0,b=1100，n ? 1

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9424130.html

總結(jié)

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