尊敬的各位家長，大家晚上好，我是成都領川外國語學校初中數學黃老師。非常開心，今天晚上能和家長一起分享我對數學的聯想，今天我的講座內容是令學生非常頭痛的數學幾何最值問題。為何遇到這種最值問題會頭痛，為何有的學生都臨近中考了還不能做這種類型的，原因何在。是因為學生沒有在腦海里形成模型思想，在做題時不能抽離出題中的基本模型。每年中考都會考最值問題，只要出現幾何最值問題，往往得分率很低。真的有那么難嗎？其實也未必，今天我將帶來大家一起來探索幾何最值問題。

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首先，我想問家長們一個問題，如圖

A代表你的家，B代表學校，從家去學校一共有三條路，兩條黑色的曲線的路，一條紅色的直線的路，拋去路況，堵車等一切問題。你會選擇哪條路？

我想這個問題不需要任何的糾結，當然選紅色那條路。看都看得出來，這個問題，反映了數學的一個基本事實：兩點之間的所有連線段中，線段最短。這個問題是七年級上期第四章《基本平面圖形》中的。而由這個基本事實卻引發了一連串的問題，我們來看問題起源：唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題。

如圖所示：

詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后 . 再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．這個問題是七年級下期第五章《簡單的軸對稱圖形》的知識，解決它并不難。

如圖所示：

從A出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線? 取A關于河岸的對稱點A‘，連結A’B，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，走的路程就是最短的。如果將軍在河邊的另外任一點C‘飲馬，所走的路程就是AC’+C‘B，但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB。

可見，在C點外任何一點C'飲馬，所走的路程都要遠一些。而這里就相當于是從A‘到B點，路程何時最短，當然是：兩點之間，線段最短。

在平時的學生學習過程之中。學生需要能抓住此問題的基本知識點與本質規律提煉歸類成簡單的解題模型。讓學生能在解題過程中通過套用這簡單的知識模塊,來解決各種各樣變化莫測的、復雜的問題。讓解題由難變易,化繁為簡，學生掌握起來也就更筒單!簡單總結將軍飲馬前兩個基本模型：

1.如圖，直線 l 和 l 的異側兩點 A . B ，在直線 l 上求作一點 P ，使 PA + PB 最小。?

2. 如圖，直線 l 和 l 的同側兩點 A . B ，在直線 l 上求作一點 P ，使 PA + PB 最小。(這也被稱為兩定一動問題)

下面讓我們一起看看這個將軍飲馬模型的變遷及其延伸:

3. 如圖，點 P 是 ∠ MON 內的一點，分別在 OM ， ON 上作點 A ， B ，使 △ PAB 的周長最小。也就是PA+AB+PB值最小.通過作圖后，不難發現， PA+AB+PB= P1A+AB+P2B=P1P2.而這當中的原理就是：兩點之間，線段最短。(這要被稱為一定兩動問題)

?4. 如圖，點P ，Q 為 ∠ MON 內的兩點，分別在 OM ， ON 上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。也就PA+AB+BQ+QP值最小。我們可以如圖所示的作圖，發現PA+AB+BQ+QP=P1A+AB+BQ1+QP=P1P2+PQ。因為PQ是定值，所以周長就最短了，原理依然是：兩點之間，線段最短。(這也被稱為兩定兩動問題)

5. 如圖，點 A 是 ∠ MON 外的一點，在射線 ON 上作點 P ，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小。也就是PA+PB最小。通過作圖不難發現：PA+PB=AB，這是因為：垂線段最短。?

6.如圖，點 A 是 ∠ MON 內的一點，在射線 ON 上作點 P ，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小。也就是PA+PB值最小。通過作圖不難發現：PA+PB=PA1+PB=A1B，這是因為：垂線段最短。(這也被稱為一定兩動問題)?

以上就是將軍飲馬的六種常見模型；記住模型后，可以用一句話來概括幾何最值問題：過定點作動點所在直線的對稱點，再連線或作垂線。(連線的原理是：兩點之間，線段最短；作垂線的原理是：垂線段最短)

那這些模型在題目中是怎么呈現的喃？

常見題目 ?

Part 1. 三角形?

1 ．如圖，在等邊 △ ABC 中，AB ?= 6 ，AD ⊥ BC ，E 是 AC上的一點，M是 AD上的一點，AE =2，求 EM + EC的最小值。?

思考，學生如果能抽離這道題是一定兩動問題，便能非常輕松的知道作定點C關于動點M所在直線AD的對稱點，然后再作垂線。

有了第一題的鋪墊，下面這道中考題就不難了。這是八年級學生必須掌握的問題。

2 ．如圖，在銳角△ABC中，AB? =?，∠ BAC ＝ 45°，∠BAC的平分線交BC于點D ，M 、N分別是 AD和 AB上的動點，則 BM + MN的最小值是 ____ ．?

解：作點 B ? 關于 AD ? 的對稱點 B ' ，過點 B ' 作 B ' E ⊥ AB ? 于點 E ，交 AD ? 于點 F ，則線段 B ' E 長就是 BM ＋ ＭＮ 的最小值在等腰 Rt △ AEB ' 中，根據勾股定理得到， B ' E ?= 4

同樣的，在正方形中還可以這樣呈現

Part 2. 正方形?

2 ．如圖所示，正方形 ABCD?? 的面積為 12 ， △ ABE?? 是等邊三角形，點 E?? 在正方形 ABCD?? 內，在對角線 AC?? 上有一點 P ，使 PD ＋ PE?? 的和最小，則這個最小值為(?? )??

解：即在 AC ? 上求一點 P ，使 PE + PD ? 的值最小。

點 D 關于直線 AC的對稱點是點 B ，連接 BE交 AC于點 P ，則 BE= PB +PE =PD + PE ，BE的長就是 PD + PE的最小值 BE = AB? =?

矩形之中是這樣的。

Part 3. 矩形??

1 ．如圖，若四邊形 ABCD ? 是矩形，?? AB ?= 10 cm ， BC ?= 20 cm ， E ? 為邊 BC ? 上的一個動點， P ? 為 BD ? 上的一個動點，求 PC + PD ? 的最小值；??

解：作點C關于 BD的對稱點 C '，過點 C ' ，??

作 C ' B ⊥ BC ，交 BD于點 P ，則 C ' E就是 PE + PC的最小值??

直角 △ BCD中，CH =?

直角 △ BCH中，BH =

△ BCC '的面積為：BH × CH=160?

∴?? C ' E × BC = 2×160? 則 CE ' = 16?

九年級菱形之中也可以這樣考

Part 4. 菱形??

1 ．如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB =10 cm ，∠ABC =45°， E為邊 BC上的一個動點， P為 BD上的一個動點，求 PC + PE的最小值；??

解：點C關于 BD的對稱點是點 A ，??

過點 A作 AE ⊥BC ，交 BD于點 P ，

則 AE 就是 PE + PC的最小值??

在等腰△EAB中，求得AE的長為?

Part 5. 直角梯形?

1 ．已知直角梯形 ABCD中， AD ∥ BC ，AB ⊥ BC ， AD =2 ，BC = DC =5 ，點 P在 BC上秱動，則當 PA + PD取最小值時，△APD中邊 AP上的高為(?? )?

解：作點 A關于 BC的對稱點 A ' ，連接 A ' D ，交 BC ? 于點 P ?

則 A ' D? =? PA '+ PD ?=? PA + PD?? A ' D?? 的長就是 PA + PD?? 的最小值??S △ APD? = 4?

在直角 △ ABP中，AB? = 4 ，BP? = 1，根據勾股定理，得

?AP =

∴ AP上的高為：?

在九年級下冊圓的知識當中也有考到。

Part 6. 圓形??

1 ．已知 ⊙ O 的直徑 CD為 4 ， ∠ AOD的度數為 60°，點 B 是AD的中點，在直徑 CD 上找一點 P ，使 BP + AP的值最小，并求 BP + AP?? 的最小值．??

解：在直線 CD 上作一點 P ，使 PA + PB ? 的值最小作點 A關于 CD 的對稱點 A ' ，連接 A ' B ，交 CD 于點 P ，則 A ' B 的長就是 PA + PB 的最小值，連接 OA '，OB ，則∠ A 'OB =90° ，OA ' =OB=4。根據勾股定理，A ' B =?

Part 7. 一次函數?

1.一次函數 y = kx + b ? 的圖象與 x 、 y ? 軸分別交于點 A ( 2 ， 0 )， B ( 0 ， 4 )。?

( 1 )求該函數的解析式；??

( 2 ) O為坐標原點，設 OA . AB ? 的中點分別為 C . D ， P ? 為 OB ? 上一動點，求 PC ＋ PD ? 的最小值，并求取得最小值時 P點坐標。?

解：(1) 由題意得：0=2 x + b ， 4= b ?

? 解得?? k =-2 ， b =4 ，??

? ∴?? y =-2 x +4?

(2) 作點 C?? 關于 y?? 軸的對稱點 C ' ，連接 C ' D ，交 y?? 軸于點 P??

則 C ＇ D = C ' P + PD? =? PC + PD??

C ' D?? 就是 PC + PD?? 的最小值??

連接 CD ，則 CD =2 ， CC ′=2?

在直角 △ C ' CD?? 中，根據勾股定理?? C ＇ D =?

求直線 C ' D?? 的解析式，由 C '(-1 ， 0) ， D (1 ， 2)?

∴ 有 0=- k + b ， 2= k + b??

解得?? k =1 ， b =1 ，??

∴?? y = x +1?

當 x =0? 時， y? =1 ，則 P (0 ， 1)?

Part 8. 二次函數??

1 ．如圖，在直角坐標系中，點 A ? 的坐標為( -2 ， 0 )，連結 0 A ，將線段 OA 繞原點 O順時針旋轉 120°，得到線段 OB 。

( 1 )求點 B 的坐標；??

( 2 )求經過 A . O 、 B 三點的拋物線的解析式；??

( 3 )在( 2 )中拋物線的對稱軸上是否存在點 C ，使 △ BOC ? 周長最小？若存在求出點 C ? 坐標；若不存在，請說明理由。

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通過以上問題的分析，給我們這些啟示：

基于對將軍飲馬問題"的探索,我認為對學生數學學習有兩方面的啟示:

最短距離問題是初中階段典型的幾何最值問題。平行線、三角形、四邊形、圓等幾何圖形均可作為這個模型的載體，勾股定理、函數等知識也與它聯系緊密 ，尤其是結合圖形變換后，這類問題對學生分析問題、解決問題的能力要求更高，所以，學生在學的過程中，不能只強調解題技巧，學生要學會剖析問題本職及解題原理。學生找到分層拓展訓練，滲透轉化、化歸、遷移等數學思想，促使學生在積累解題經驗的同時提升認知水平。

黃遲：成都市中學數學名師，中學數學競賽一級教練員，領川外國語學校中學數學競賽組骨干成員。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的三角形周长最短问题_谈“最短”的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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