向量空間又稱(chēng)線(xiàn)性空間，是線(xiàn)性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問(wèn)題的處理變得更為簡(jiǎn)潔和清晰，在此基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象化，形成了與域相聯(lián)系的向量空間概念。譬如，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后構(gòu)成向量空間，在代數(shù)上處理是方便的。單變?cè)獙?shí)函數(shù)的集合在定義適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算后，也構(gòu)成向量空間，研究此類(lèi)函數(shù)向量空間的數(shù)學(xué)分支稱(chēng)為泛函分析。

向量空間它的理論和方法在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。[1]

中文名

向量空間

外文名

Vector space

別????稱(chēng)

線(xiàn)性空間、矢量空間

向量空間詳細(xì)定義

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語(yǔ)音

向量空間亦稱(chēng)線(xiàn)性空間。它是線(xiàn)性代數(shù)的中心內(nèi)容和基本概念之一。設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)域。若：

1.在V中定義了一種運(yùn)算，稱(chēng)為加法，即對(duì)V中任意兩個(gè)元素α與β都按某一法則對(duì)應(yīng)于V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素α+β，稱(chēng)為α與β的和。[2]

2.在P與V的元素間定義了一種運(yùn)算，稱(chēng)為純量乘法(亦稱(chēng)數(shù)量乘法)，即對(duì)V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對(duì)應(yīng)V內(nèi)惟一確定的一個(gè)元素kα，稱(chēng)為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿(mǎn)足以下條件：

1) α+β=β+α，對(duì)任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對(duì)任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個(gè)元素0∈V，對(duì)一切α∈V有α+0=α，元素0稱(chēng)為V的零元.

4) 對(duì)任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱(chēng)為α的負(fù)元素，記為-α.

5) 對(duì)P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對(duì)任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對(duì)任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對(duì)任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱(chēng)V為域P上的一個(gè)線(xiàn)性空間，或向量空間。V中元素稱(chēng)為向量，V的零元稱(chēng)為零向量，P稱(chēng)為線(xiàn)性空間的基域.當(dāng)P是實(shí)數(shù)域時(shí)，V稱(chēng)為實(shí)線(xiàn)性空間.當(dāng)P是復(fù)數(shù)域時(shí)，V稱(chēng)為復(fù)線(xiàn)性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線(xiàn)段)構(gòu)成的集合，P為實(shí)數(shù)域R，則V關(guān)于向量加法(即平行四邊形法則)和數(shù)與向量的乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間。又如，若V為數(shù)域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數(shù)域P上的線(xiàn)性空間.V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)構(gòu)成的集合P對(duì)于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)與純量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)構(gòu)成域P上的線(xiàn)性空間，稱(chēng)為域P上n元向量空間。

線(xiàn)性空間是在考察了大量的數(shù)學(xué)對(duì)象(如幾何學(xué)與物理學(xué)中的向量，代數(shù)學(xué)中的n元向量、矩陣、多項(xiàng)式，分析學(xué)中的函數(shù)等)的本質(zhì)屬性后抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，近代數(shù)學(xué)中不少的研究對(duì)象，如賦范線(xiàn)性空間、模等都與線(xiàn)性空間有著密切的關(guān)系。它的理論與方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的許多領(lǐng)域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進(jìn)向量一詞，并開(kāi)創(chuàng)了向量理論和向量計(jì)算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統(tǒng)理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀(guān)的、成為一個(gè)純粹數(shù)學(xué)概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線(xiàn)性代數(shù)的主要定理推廣到任意域上的一般的線(xiàn)性空間中。

向量空間公理化定義

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語(yǔ)音

設(shè)F是一個(gè)域。一個(gè)F上的向量空間是一個(gè)集合V的兩個(gè)運(yùn)算：

向量加法: V + V → V, 記作 v + w,V v, w∈V

標(biāo)量乘法: F × V → V, 記作 a·v, V a∈F, v∈V

符合下列公理 (? a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

向量加法結(jié)合律：u + (v + w) = (u + v) + w；

向量加法交換律：v + w = w + v；

向量加法的單位元：V 里有一個(gè)叫做零向量的 0，? v ∈ V , v + 0 = v；

向量加法的逆元素：?v∈V, ?w∈V，使得 v + w = 0；

標(biāo)量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；

標(biāo)量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；

標(biāo)量乘法一致于標(biāo)量的域乘法: a(b v) = (ab)v；

標(biāo)量乘法有單位元: 1 v = v, 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。

有些教科書(shū)還強(qiáng)調(diào)以下兩個(gè)公理：

V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V

V 閉合在標(biāo)量乘法下：a v ∈ V

更抽象的說(shuō)，一個(gè)F上的向量空間是一個(gè)F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標(biāo)量。若F是實(shí)數(shù)域R，V稱(chēng)為實(shí)向量空間；若F是復(fù)數(shù)域C，V稱(chēng)為復(fù)向量空間；若F是有限域，V稱(chēng)為有限域向量空間；對(duì)一般域F，V稱(chēng)為F-向量空間。[3]

首4個(gè)公理是說(shuō)明向量V在向量加法中是個(gè)阿貝爾群，余下的4個(gè)公理應(yīng)用于標(biāo)量乘法。

以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來(lái)的特性：

零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的

a 0 = 0，? a ∈ F

0 v = 0，? v ∈ V，這里 0 是F的加法單位元

a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0

v的加法逆元(公理4)是唯一的(寫(xiě)成?v)，這兩個(gè)寫(xiě)法v ? w 及 v + (?w) 都是標(biāo)準(zhǔn)的

(?1)v = ?v，? v ∈ V

(?a)v = a(?v) = ?(av)，? a ∈ F ，? v ∈ V

向量空間線(xiàn)性無(wú)關(guān)

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語(yǔ)音

如果V是一個(gè)線(xiàn)性空間，如果存在不全為零的系數(shù)c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多個(gè)向量v1, v2, ..., vn稱(chēng)為線(xiàn)性相關(guān)的.

反之，稱(chēng)這組向量為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。更一般的，如果有無(wú)窮多個(gè)向量，我們稱(chēng)這無(wú)窮多個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，如果其中任意有限多個(gè)都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。

向量空間子空間

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語(yǔ)音

設(shè)W為向量空間 V 的一個(gè)非空子集，若W在 V 的加法及標(biāo)量乘法下是封閉的，且零向量0 ∈ W，就稱(chēng)W為 V 的線(xiàn)性子空間。

給出一個(gè)向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱(chēng)為它的擴(kuò)張，記作 span(B)。另外可以規(guī)定空集的擴(kuò)張為{0}。

給出一個(gè)向量集合 B，若它的擴(kuò)張就是向量空間 V， 則稱(chēng) B 為 V 的生成集合。

給出一個(gè)向量集合 B，若B是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，且B能夠生成V，就稱(chēng)B為V的一個(gè)基。若 V={0}，唯一的基是空集。[4]

對(duì)非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。

如果一個(gè)向量空間 V 擁有一個(gè)元素個(gè)數(shù)有限的生成集，那么就稱(chēng) V 是一個(gè)有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱(chēng)為該空間的維度。例如，實(shí)數(shù)向量空間：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的維度就是 n。

空間內(nèi)的每個(gè)向量都有唯一的方法表達(dá)成基中向量的線(xiàn)性組合。而且，將基中向量進(jìn)行排列，表示成有序基，每個(gè)向量便可以坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)表示。

向量空間線(xiàn)性映射

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語(yǔ)音

若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設(shè)定由V到W的線(xiàn)性變換或“線(xiàn)性映射”。這些由V到W的映射都有共同點(diǎn)，就是它們保持總和及標(biāo)量商數(shù)。這個(gè)集合包含所有由V到W的線(xiàn)性映射，以 L(V, W) 來(lái)描述，也是一個(gè)域F上的向量空間。當(dāng) V 及 W 被確定后，線(xiàn)性映射可以用矩陣來(lái)表達(dá)。

同構(gòu)是一對(duì)一的一張線(xiàn)性映射。如果在V 和W之間存在同構(gòu)，我們稱(chēng)這兩個(gè)空間為同構(gòu)；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構(gòu)。

一個(gè)在F場(chǎng)的向量空間加上線(xiàn)性映射就可以構(gòu)成一個(gè)范疇，即阿貝爾范疇。

向量空間額外結(jié)構(gòu)

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研究向量空間很自然涉及一些額外結(jié)構(gòu)。額外結(jié)構(gòu)如下：

一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度概念。就是范數(shù)稱(chēng)為賦范向量空間。

一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度和角度的概念，稱(chēng)為內(nèi)積空間。

一個(gè)向量空間加上拓?fù)鋵W(xué)符合運(yùn)算的(加法及標(biāo)量乘法是連續(xù)映射)稱(chēng)為拓?fù)湎蛄靠臻g。

一個(gè)向量空間加上雙線(xiàn)性算子(定義為向量乘法)是個(gè)域代數(shù)。[5]

參考資料

1.

《數(shù)學(xué)辭海》委員會(huì). 數(shù)學(xué)辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.

2.

戴洪峰. 向量空間理論的歷史研究[D].山東大學(xué),2013.

3.

孟道驥．高等代數(shù)與解析幾何：科學(xué)出版社，2007年

4.

Leslie Hogben．Handbook of Linear Algebra：CRC Press，2006：2--3

5.

李連,朱愛(ài)紅,蘇濤. 一種改進(jìn)的基于向量空間文本相似度算法的研究與實(shí)現(xiàn)[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2012,29(02):282-284. [2017-09-04].

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量空间和计算机科学与技术,向量空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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