1. 堆的定義

設有n個數據元素的關鍵字為（k0、k1、…、kn-1），如果它們滿足以下的關系：k_i<= k_2i+1且k_i<= k_2i+2（或k_i>= k_2i+1且k_i>= k_2i+2）（i=0、1、…、(n-2)/2）則稱之為堆(Heap)。

如果將此數據元素序列用一維數組存儲，并將此數組對應一棵完全二叉樹，則堆的含義可以理解為：在完全二叉樹中任何非終端結點的關鍵字均不大于（或不小于）其左、右孩子結點的關鍵字。

下圖(b)、(c)分別給出了最小堆和最大堆的例子，前者任一非終端結點的關鍵字均小于或等于它的左、右孩子的關鍵字，此時位于堆頂(即完全二叉樹的根結點位置)的結點的關鍵字是整個序列中最小的，所以稱它為最小堆；后者任一非終端結點的關鍵字均大于或等于它的左、右孩子的關鍵字，此時位于堆頂的結點的關鍵字是整個序列中最大的，所以稱它為最大堆。

調整算法FilterDown要求將以分支結點i為根的子樹調整為最小堆，其基本思想是：從結點i開始向下調整，先比較結點i左孩子結點和右孩子結點的關鍵字大小，如果結點i左孩子結點的關鍵字小于右孩子結點的關鍵字，則沿結點i的左分支進行調整；否則沿結點i的右分支進行調整，在算法中用j指示關鍵字值較小的孩子結點。然后結點i和結點j進行關鍵字比較，若結點i的關鍵字大于結點j的關鍵字，則兩結點對調位置，相當于把關鍵字小的結點上浮。再令i＝j，j＝2*j十l，繼續向下一層進行比較；若結點i的關鍵字不大于結點j的關鍵字或結點i沒有孩子時調整結束。

注意：這里的“堆”是指一種的特殊的二叉樹，不要和java和C++等編程語言里的
“堆”混淆，后者指的是程序員用new能得到的計算機內存的可用部分。

堆的介紹

• 堆是完全二叉樹
• 常常用數組實現
• 每一個節點的關鍵字都大于（等于）這個節點的子節點的關鍵字

弱序，優先級隊列

2. 在堆中插入元素

在堆的類定義中成員函數Insert( )用于在堆中插入一個數據元素，在此規定數據元素總是插在已經建成的最小堆后面，如下圖所示在堆中插入關鍵字為14的數據元素。顯然在堆中插入元素后可能破壞堆的性質，所以還需要調用FilterUp( )函數，進行自下而上調整使之所在的子樹成為堆。

在堆的類定義中成員函數DeleteTop( )用于刪除堆頂數據元素。在從堆中刪除堆頂元素后，一般把堆的最后一個元素移到堆頂，并將堆的當前元素個數heapCurrentSize減1，最后需要調用FilterDown()函數從堆頂向下進行調整。如圖6-20所示給出了在堆中刪除堆頂元素的過程。

3. 二叉堆

二叉堆就是通常我們所說的數據結構中”堆”中的一種。和以往一樣，本文會先對二叉堆的理論知識進行簡單介紹，然后給出C語言的實現。后續再分別給出C++和Java版本的實現；實現的語言雖不同，但是原理如出一轍，選擇其中之一進行了解即可

4. 堆和二叉堆的介紹

4.1 堆的定義

堆(heap)，這里所說的堆是數據結構中的堆，而不是內存模型中的堆。堆通常是一個可以被看做一棵樹，它滿足下列性質：

• [性質一] 堆中任意節點的值總是不大于(不小于)其子節點的值；
• [性質二] 堆總是一棵完全樹。

將任意節點不大于其子節點的堆叫做最小堆或小根堆，而將任意節點不小于其子節點的堆叫做最大堆或大根堆。常見的堆有二叉堆、左傾堆、斜堆、二項堆、斐波那契堆等等。

4.2 二叉堆的定義

二叉堆是完全二元樹或者是近似完全二元樹，它分為兩種：最大堆和最小堆。
最大堆：父結點的鍵值總是大于或等于任何一個子節點的鍵值；最小堆：父結點的鍵值總是小于或等于任何一個子節點的鍵值。示意圖如下：

二叉堆一般都通過”數組”來實現。數組實現的二叉堆，父節點和子節點的位置存在一定的關系。有時候，我們將”二叉堆的第一個元素”放在數組索引0的位置，有時候放在1的位置。當然，它們的本質一樣(都是二叉堆)，只是實現上稍微有一丁點區別。
假設”第一個元素”在數組中的索引為 0 的話，則父節點和子節點的位置關系如下：

• 索引為i的左孩子的索引是 (2*i+1);
• 索引為i的左孩子的索引是 (2*i+2);
• 索引為i的父結點的索引是 floor((i-1)/2);

假設”第一個元素”在數組中的索引為 1 的話，則父節點和子節點的位置關系如下：

• 索引為i的左孩子的索引是 (2*i)
• 索引為i的左孩子的索引是 (2*i+1)
• 索引為i的父結點的索引是 floor(i/2)

注意：本文二叉堆的實現統統都是采用”二叉堆第一個元素在數組索引為0”的方式！

5. 二叉堆的圖文解析

在前面，我們已經了解到：”最大堆”和”最小堆”是對稱關系。這也意味著，了解其中之一即可。本節的圖文解析是以”最大堆”來進行介紹的。

二叉堆的核心是”添加節點”和”刪除節點”，理解這兩個算法，二叉堆也就基本掌握了。下面對它們進行介紹。

5.1 添加

假設在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]種添加85，需要執行的步驟如下：

如上圖所示，當向最大堆中添加數據時：先將數據加入到最大堆的最后，然后盡可能把這個元素往上挪，直到挪不動為止！

將85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆變成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

/** 最大堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被上調節點的起始位置(一般為數組中最后一個元素的索引)*/ protected void filterup(int start) {int c = start; // 當前節點(current)的位置int p = (c-1)/2; // 父(parent)結點的位置 T tmp = mHeap.get(c); // 當前節點(current)的大小while(c > 0) {int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);if(cmp >= 0)break;else {mHeap.set(c, mHeap.get(p));c = p;p = (p-1)/2; } }mHeap.set(c, tmp); }/* * 將data插入到二叉堆中*/ public void insert(T data) {int size = mHeap.size();mHeap.add(data); // 將"數組"插在表尾filterup(size); // 向上調整堆 }

insert(data)的作用：將數據data添加到最大堆中。mHeap是動態數組ArrayList對象。

當堆已滿的時候，添加失敗；否則data添加到最大堆的末尾。然后通過上調算法重新調整數組，使之重新成為最大堆。

5.2 刪除

假設從最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中刪除90，需要執行的步驟如下：

如上圖所示，當從最大堆中刪除數據時：先刪除該數據，然后用最大堆中最后一個的元素插入這個空位；接著，把這個“空位”盡量往上挪，直到剩余的數據變成一個最大堆。
從[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]刪除90之后，最大堆變成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考慮從最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中刪除60，執行的步驟不能單純的用它的字節點來替換；而必須考慮到”替換后的樹仍然要是最大堆”！

/* * 最大堆的向下調整算法** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被下調節點的起始位置(一般為0，表示從第1個開始)* end -- 截至范圍(一般為數組中最后一個元素的索引)*/ protected void filterdown(int start, int end) {int c = start; // 當前(current)節點的位置int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap.get(c); // 當前(current)節點的大小while(l <= end) {int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && cmp<0)l++; // 左右兩孩子中選擇較大者，即mHeap[l+1]cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));if(cmp >= 0)break; //調整結束else {mHeap.set(c, mHeap.get(l));c = l;l = 2*l + 1; } } mHeap.set(c, tmp); }/** 刪除最大堆中的data** 返回值：* 0，成功* -1，失敗*/ public int remove(T data) {// 如果"堆"已空，則返回-1if(mHeap.isEmpty() == true)return -1;// 獲取data在數組中的索引int index = mHeap.indexOf(data);if (index==-1)return -1;int size = mHeap.size();mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填補mHeap.remove(size - 1); // 刪除最后的元素if (mHeap.size() > 1)filterdown(index, mHeap.size()-1); // 從index號位置開始自上向下調整為最小堆return 0; }

6. 二叉堆的Java實現

6.1 二叉堆(最大堆)

/*** 二叉堆(最大堆)** @author skywang* @date 2014/03/07*/import java.util.ArrayList; import java.util.List;public class MaxHeap<T extends Comparable<T>> {private List<T> mHeap; // 隊列(實際上是動態數組ArrayList的實例)public MaxHeap() {this.mHeap = new ArrayList<T>();}/* * 最大堆的向下調整算法** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被下調節點的起始位置(一般為0，表示從第1個開始)* end -- 截至范圍(一般為數組中最后一個元素的索引)*/protected void filterdown(int start, int end) {int c = start; // 當前(current)節點的位置int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap.get(c); // 當前(current)節點的大小while(l <= end) {int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && cmp<0)l++; // 左右兩孩子中選擇較大者，即mHeap[l+1]cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));if(cmp >= 0)break; //調整結束else {mHeap.set(c, mHeap.get(l));c = l;l = 2*l + 1; } } mHeap.set(c, tmp);}/** 刪除最大堆中的data** 返回值：* 0，成功* -1，失敗*/public int remove(T data) {// 如果"堆"已空，則返回-1if(mHeap.isEmpty() == true)return -1;// 獲取data在數組中的索引int index = mHeap.indexOf(data);if (index==-1)return -1;int size = mHeap.size();mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填補mHeap.remove(size - 1); // 刪除最后的元素if (mHeap.size() > 1)filterdown(index, mHeap.size()-1); // 從index號位置開始自上向下調整為最小堆return 0;}/** 最大堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被上調節點的起始位置(一般為數組中最后一個元素的索引)*/protected void filterup(int start) {int c = start; // 當前節點(current)的位置int p = (c-1)/2; // 父(parent)結點的位置 T tmp = mHeap.get(c); // 當前節點(current)的大小while(c > 0) {int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);if(cmp >= 0)break;else {mHeap.set(c, mHeap.get(p));c = p;p = (p-1)/2; } }mHeap.set(c, tmp);}/* * 將data插入到二叉堆中*/public void insert(T data) {int size = mHeap.size();mHeap.add(data); // 將"數組"插在表尾filterup(size); // 向上調整堆}@Overridepublic String toString() {StringBuilder sb = new StringBuilder();for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)sb.append(mHeap.get(i) +" ");return sb.toString();}public static void main(String[] args) {int i;int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};MaxHeap<Integer> tree=new MaxHeap<Integer>();System.out.printf("== 依次添加: ");for(i=0; i<a.length; i++) {System.out.printf("%d ", a[i]);tree.insert(a[i]);}System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);i=85;tree.insert(i);System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);i=90;tree.remove(i);System.out.printf("\n== 刪除元素: %d", i);System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);System.out.printf("\n");} }

6.2 二叉堆(最小堆)

/*** 二叉堆(最小堆)** @author skywang* @date 2014/03/07*/import java.util.ArrayList; import java.util.List;public class MinHeap<T extends Comparable<T>> {private List<T> mHeap; // 存放堆的數組public MinHeap() {this.mHeap = new ArrayList<T>();}/* * 最小堆的向下調整算法** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被下調節點的起始位置(一般為0，表示從第1個開始)* end -- 截至范圍(一般為數組中最后一個元素的索引)*/protected void filterdown(int start, int end) {int c = start; // 當前(current)節點的位置int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap.get(c); // 當前(current)節點的大小while(l <= end) {int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && cmp>0)l++; // 左右兩孩子中選擇較小者，即mHeap[l+1]cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));if(cmp <= 0)break; //調整結束else {mHeap.set(c, mHeap.get(l));c = l;l = 2*l + 1; } } mHeap.set(c, tmp);}/** 最小堆的刪除** 返回值：* 成功，返回被刪除的值* 失敗，返回null*/public int remove(T data) {// 如果"堆"已空，則返回-1if(mHeap.isEmpty() == true)return -1;// 獲取data在數組中的索引int index = mHeap.indexOf(data);if (index==-1)return -1;int size = mHeap.size();mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填補mHeap.remove(size - 1); // 刪除最后的元素if (mHeap.size() > 1)filterdown(index, mHeap.size()-1); // 從index號位置開始自上向下調整為最小堆return 0;}/** 最小堆的向上調整算法(從start開始向上直到0，調整堆)** 注：數組實現的堆中，第N個節點的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 參數說明：* start -- 被上調節點的起始位置(一般為數組中最后一個元素的索引)*/protected void filterup(int start) {int c = start; // 當前節點(current)的位置int p = (c-1)/2; // 父(parent)結點的位置 T tmp = mHeap.get(c); // 當前節點(current)的大小while(c > 0) {int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);if(cmp <= 0)break;else {mHeap.set(c, mHeap.get(p));c = p;p = (p-1)/2; } }mHeap.set(c, tmp);}/* * 將data插入到二叉堆中*/public void insert(T data) {int size = mHeap.size();mHeap.add(data); // 將"數組"插在表尾filterup(size); // 向上調整堆}public String toString() {StringBuilder sb = new StringBuilder();for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)sb.append(mHeap.get(i) +" ");return sb.toString();}public static void main(String[] args) {int i;int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};MinHeap<Integer> tree=new MinHeap<Integer>();System.out.printf("== 依次添加: ");for(i=0; i<a.length; i++) {System.out.printf("%d ", a[i]);tree.insert(a[i]);}System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);i=15;tree.insert(i);System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);i=10;tree.remove(i);System.out.printf("\n== 刪除元素: %d", i);System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);System.out.printf("\n");} }

6.3 二叉堆的Java測試程序

測試程序已經包含在相應的實現文件中了，這里只說明運行結果。

最大堆(MaxHeap.java)的運行結果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 == 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 == 添加元素: 85 == 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 == 刪除元素: 90 == 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50

最小堆(MinHeap.java)的運行結果：

== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 == 添加元素: 15 == 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 == 刪除元素: 10 == 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60

PS. 二叉堆是”堆排序”的理論基石。以后講解算法時會講解到”堆排序”，理解了”二叉堆”之后，”堆排序”就很簡單了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Java数据结构与算法：堆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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