一般的計(jì)算方法教程如文獻(xiàn)[1-5]都會介紹三種常見的迭代法,即Jacobi方法、Gauss-Seidel方法和SOR迭代.由于Gauss-Seidel方法充分利用了迭代過程的新信息[1,2],一般來說,它的迭代效果要比Jacobi方法好.SOR迭代實(shí)質(zhì)上是基于Gauss-Seidel方法的一種松弛加速方法,當(dāng)松弛因子選擇合適時(shí),SOR迭代可以顯著地提高收斂速度[3-7].對于n階線性方程組Ax=b,如果A的所有對角元非零,記n階單位矩陣為I,Jacobi矩陣-1B=I-diag(aii)A=L+U,L和U分別是嚴(yán)格下三角陣和上三角陣,為松弛因子.則有SOR迭代(k)(k-1)x=Sx+(I?L)-1g,(k=1,2,3,…),其中S=(I?L)-1((1-)I+U)稱為SOR迭代矩陣.SOR迭代收斂的充要條件是矩陣譜半徑(S)<1.Kahan[1]已經(jīng)證明了SOR迭代收斂的必要條件是01)才有意義.最后也構(gòu)造了一個(gè)矩陣?yán)?表明低松弛方法仍具有存在的價(jià)值.1定義與引理以下定義1與引理1參見文獻(xiàn)[2],引理2與引理3及引理4參見文獻(xiàn)[1].定義1設(shè)A為n階非奇異方陣,且A=M-N.如果M?10,N0,則稱A=M-N是矩陣A的一個(gè)正則分解.引理1設(shè)A=M-N是矩陣A的一個(gè)正則分解,如果A?10,則(M?1N)<1.引理2設(shè)A是不可約矩陣且對應(yīng)的Jacobi矩陣B非負(fù),則當(dāng)(B)<1時(shí),對某個(gè)不小于1的?,關(guān)于的函數(shù)(S)在區(qū)間(0,?]上是嚴(yán)格單調(diào)降的.引理3設(shè)矩陣A具有相容次序,其對應(yīng)的Jacobi矩陣B特征值全部為實(shí)數(shù),則當(dāng)=(B)<1時(shí),(S)=1-+1222+1?+1422,這里01.522254245??A=?函數(shù)圖形為圖4.=1.0928,opt=1.1802,b不是實(shí)數(shù).最后,我們再給出一個(gè)Gauss-Seidel方法不收斂,但通過低松弛方法能夠收斂的例子.例5矩陣A對應(yīng)的(S1)>1但存在松弛因子(0,1)使得(S)<1.422142255A=?????---?????函數(shù)圖形為圖5.(S1)=1.04564,=0.9088,opt=0.8222且(Sopt)=0.245.因此此例中的最佳低松弛方法的收斂速度遠(yuǎn)低于Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的收斂速度.以上數(shù)例反映(S)與松弛因子的關(guān)系的圖形與相關(guān)數(shù)據(jù),直觀反映了定理1和定理2的結(jié)論以及上節(jié)關(guān)于對稱正定矩陣的猜想,說明了一般情況下對SOR迭代不必使用低松弛方法,即超松弛方法(>1)才有意義.另外,用計(jì)算b的公式求opt必須是在滿足定理3的條件下方可成立.SwHL10.80.60.40.20.511.52wSwHL10.80.40.60.20.511.52wSwHL0000....248610.511.52w圖1圖2圖3SwHL10.20.511.52w00..640.8SwHL10.80.40.60.20.511.52w圖4圖5基于MATLAB的一類迭代分析@潘朝毅$四川教育學(xué)院數(shù)學(xué)系!四川成都610041

@譚啟建$四川教育學(xué)院數(shù)學(xué)系!四川成都610041SOR迭代法收斂的必要條件是01)才有意義.迭代分析;;SOR;;Gauss-Seidel;;Jacobi;;MATLAB[1]STOERJ,BULIRSCHR.IntroductiontoNumericalAnalysis[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.

[2]蔡大用.數(shù)值代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1987.

[3]李慶揚(yáng),易大義,王能超.現(xiàn)代數(shù)值分析[M].北京:高等

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

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