?信號(hào)（signal）經(jīng)常出現(xiàn)在現(xiàn)代科學(xué)中，如果要用數(shù)學(xué)加以簡(jiǎn)單的描述，我想這樣的描述應(yīng)該是一個(gè)比較好的方式：信號(hào)是一個(gè)定義在一維或則多維空間上的函數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)輸入，可以得出一個(gè)確定的輸出。以聲音信號(hào)為例，它是一個(gè)定義在一維空間上的函數(shù)，自變量是時(shí)間，因變量是聲音的強(qiáng)度。在進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時(shí)，關(guān)于信號(hào)最基本的問(wèn)題在于它如何表示和描述。把信號(hào)理解成一個(gè)定義在時(shí)域或空域上的函數(shù)是一種很自然的表示方法，但有時(shí)候這對(duì)理解一段信號(hào)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)是不夠的。仍以聲音信號(hào)為例，如果把聲音定義為一個(gè)在時(shí)間上的一維函數(shù)，畫(huà)出之后它是一段波形圖，包含了這段聲音的全部信息，但如果這段聲音信號(hào)是一個(gè)樂(lè)曲，我們可以用樂(lè)譜表示，如果是演講稿我們可以用文字記錄，在某種意義上說(shuō)這兩種表達(dá)方式是等價(jià)的。那么這兩種表達(dá)方式是不是應(yīng)該有某種聯(lián)系呢？直到十九世紀(jì)人們才意識(shí)到他們之間存在著一種對(duì)偶關(guān)系。

? ? 1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉向巴黎科學(xué)院提交了一篇?jiǎng)潟r(shí)代意義的論文《固體中的熱傳播》，里面提到了一個(gè)概念：任何一個(gè)函數(shù)都可以表達(dá)為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的（即簡(jiǎn)單的三角函數(shù)）疊加。這個(gè)結(jié)論只是論文中的一個(gè)副產(chǎn)品。但經(jīng)過(guò)當(dāng)時(shí)著名科學(xué)家如拉格朗日、勒讓德等人的審閱，由于其思想的不嚴(yán)密而被拒絕，四年之后經(jīng)過(guò)修改的論文才被接受，但仍被拒絕發(fā)表在《報(bào)告》上，傅里葉對(duì)稱耿耿于懷，直到1824年，他做了科學(xué)院的秘書(shū)才得以把當(dāng)年的論文發(fā)表。

? ???用今天的語(yǔ)言來(lái)描述，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是在說(shuō)：任何一個(gè)信號(hào)都可以用兩種方式來(lái)表達(dá)，一種就是通常意義上的表達(dá)，自變量是時(shí)間或者空間的坐標(biāo)，因變量是信號(hào)在該處的強(qiáng)度，另一種則是把一個(gè)信號(hào)「展開(kāi)」成不同頻率的簡(jiǎn)單三角函數(shù)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）的疊加，于是這就相當(dāng)于把它看作是定義在所有頻率所組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個(gè)函數(shù)，自變量是不同的頻率，因變量是該頻率所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅度。

? ? 這兩個(gè)函數(shù)一個(gè)定義在時(shí)域（或空域）上，一個(gè)定義在頻域上，看起來(lái)的樣子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個(gè)信號(hào)。它們就象是兩種不同的語(yǔ)言，乍一聽(tīng)完全不相干，但是其實(shí)可以精確地互相翻譯。在數(shù)學(xué)上，這種翻譯的過(guò)程被稱為「傅立葉變換」。

傅立葉變換是一個(gè)數(shù)學(xué)上極為精美的對(duì)象：

• 它是完全可逆的，任何能量有限的時(shí)域或空域信號(hào)都存在唯一的頻域表達(dá)，反之亦然。

• 它完全不損傷信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個(gè)信號(hào)之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積），它們的頻域表達(dá)之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。

• 它不改變信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號(hào)收斂到一個(gè)特定的極限，它們的頻域表達(dá)也一定收斂到那個(gè)極限函數(shù)的頻域表達(dá)。

? ? 傅里葉變換就像是把信號(hào)徹底打亂之后以面目全非的方式表達(dá)出來(lái)，而一切的信息原封不動(dòng)的存在著。在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的是這樣一種特性：一個(gè)在時(shí)域或空域上看起來(lái)很復(fù)雜的信號(hào)（譬如一段聲音或者一幅圖像）通常在頻域上的 表達(dá)會(huì)很簡(jiǎn)單。這里「簡(jiǎn)單」的意思是說(shuō)作為頻域上的函數(shù)，它只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。

? ? 這是一個(gè)意味深長(zhǎng)的事實(shí)，它說(shuō)明一個(gè)在空域中看起來(lái)占滿全空間的信號(hào)，從頻域中看起來(lái)很可能只不過(guò)占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被浪費(fèi)了的。 這就導(dǎo)出了一個(gè)極為有用的結(jié)論：一個(gè)看起來(lái)信息量很大的信號(hào)，其實(shí)可以只用少得多的數(shù)據(jù)來(lái)加以描述。只要對(duì)它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻 域信息就可以了，這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。

? ? 基本上，這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時(shí)間的前提下被傳輸，所以數(shù)據(jù)壓縮從來(lái)都是 最核心的問(wèn)題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無(wú)論是聲音的 mp3 格式還是圖像的 jpg 格式，都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明的。從這個(gè)意義上說(shuō)來(lái)，幾乎全部現(xiàn)代信息社會(huì)都建立在傅立葉的理論的基礎(chǔ)之上。這當(dāng)然是傅立葉本人也始料未及的。

? ? 傅立葉變換這種對(duì)偶關(guān)系的本質(zhì)，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個(gè)信號(hào)可能在空域上顯得內(nèi)容豐富，但是當(dāng)它在 頻域上被重新表達(dá)出來(lái)的時(shí)候，往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。反過(guò)來(lái)這個(gè)關(guān)系也是對(duì)稱的：一個(gè)空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號(hào)，在頻域上通常都會(huì)占據(jù)絕大多 數(shù)頻率。

? ? 有沒(méi)有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻 域上的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，這就說(shuō)明「噪聲本身是不可壓縮的」。這并不違反直覺(jué)，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是通過(guò)挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律 來(lái)對(duì)它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒(méi)有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，自然也就無(wú)從得以壓縮。

? ? ?另一方面，有沒(méi)有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很簡(jiǎn)單呢？換句話說(shuō)，存不存在一個(gè)函數(shù)，它在空間上只分布在很少的幾個(gè)區(qū)域內(nèi)，并且在頻域上也只占用了很少的幾個(gè)頻率呢？（零函數(shù)當(dāng)然滿足這個(gè)條件，所以下面討論的都是非零函數(shù)。）答案是不存在。這就是所謂的 uncertainty principle（不確定性原理）。

? ? 這一事實(shí)有極為重要的內(nèi)涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直觀：大自然一定要限制一個(gè)信號(hào)在空間分布和頻率分布上都不能都集中在一起，看起來(lái)并沒(méi)有什么道理啊。

? ? 這個(gè)原理可以被盡量直觀地解釋如下：所謂的頻率，本質(zhì)上反應(yīng)的是一種長(zhǎng)期的全局的趨勢(shì)，所以任何一個(gè)單一的頻率，一定對(duì)應(yīng)于一個(gè)在時(shí)空中大范圍存在的信號(hào)。反過(guò)來(lái)，任何只在很少一塊時(shí)空的局部里存在的信號(hào)，都存在很多種不同的長(zhǎng)期發(fā)展的可能性，從而無(wú)法精確推斷其頻率。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈傅立叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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