并不覺得今天學到了什么東西…感覺像上了數學課一樣…

很對勁的太刀流->

一、枚舉法

初二數學就有提到的。不過，有時算出的概率和直覺并不相符，所以并不能直接憑感性認識，并不對勁的人有時還得理性分析的。下面說幾道不太符合直覺的題：

（1）A對B說：“我有個兄弟姐妹，你猜猜這個人和我是同性還是異性呢？”這時B猜同性還是異性更容易猜對？

聽上去猜哪一個都沒有區別，然而事實上并不。假設A的性別是a，與A異性是b，那么A家的孩子有這幾種可能：aa,ab,ba,bb。這四種都是等可能的。但是由于A已經是a性別的了，所以bb這種組合就被排除了，只剩下ab,ba,aa這三種情況。剛剛說過它們是等可能的，也就是ab,ba,aa三種情況各占1/3的概率。這樣，A的兄弟姐妹的性別是b的概率就是2/3了。

（1.5）A看B遲遲不肯回答，就又說到：“這個人比我小?！边@時B該猜什么呢？

照著上一題的思路，會發現ba這一種情況被排除了，只剩下ab,aa兩種等可能情況，所以B猜什么都是一樣的。

也就是說，有兄弟姐妹的人可以用這個方法去坑別人了。

（2）有三扇門，其中一扇有車，另外兩扇后是山羊。A知道門后的情況。A讓B選一扇門，B想選到汽車。B選定了一扇門。這個A比較貪玩，故意打開了一扇B沒有選、里面還是山羊的門。A問B要不要換，B該如何回答？好像是一個很經典的問題。

先分析可能會出現等可能的車-羊-羊、羊-車-羊、羊-羊-車這三種情況。假設B一開始選了第一扇門，那么對于第一種情況而言，換門肯定對他不利。而對于后兩種情況而言，由于A已經打開了另一扇門后是羊的門（B肯定不會傻到換為A打開的那扇有羊的門），所以他一定會換成有車的門。這樣一來，換后有車的概率是2/3。也可以這樣理解：只有第一次選中時換門對B不利，第一次選中的概率是1/3，那么換門不利的概率也是1/3。這樣一來，B就最好換門了。也可以夸張一些看成，A有100扇門，一扇后面是汽車，其它的后面都是山羊。在B選中后，A打開了98扇后面是山羊的門，問B要不要換成另一扇沒開的門。只要B第一次沒選中，換門都會使他拿到汽車。第一次沒選中的概率是99/100，所以換門拿到車的概率是99/100。雖然按照平常的生活經驗，做選擇題時改來改去反而容易錯（這不是因為蠢嗎…）。

（3）B不舒服，想知道生了什么病。不幸的是，他在醫院被查出【某種很重的病】。這種病的患病率是一萬分之一。由于醫院條件一般，有1%的概率誤診（就是一百個人中有一個有病當成沒病或沒病當成有病）。B仍抱有一絲僥幸心理，他想知道他患病和未患病的概率哪個更高？

聽上去B已經兇多吉少了。但是本著助人為樂是精神還是給他算一算比較好。假設一共有1,000,000個人，那么其中患【某種很重的病】的有100人。可以列出以下表格：

會發現被檢測出患病的人中，竟然有大部分是沒患病的！這樣B未患病的概率就更高了。

照這么來說，是不是平時被診斷為有病了，也不用擔心呢？想必不是。去醫院的人大多是不舒服，更有可能是患病了。而且醫院的誤診率也比本題中低多了。

（3.5）遺憾的是，B確實得了【某種很重的病】。A推薦了兩家醫院：甲醫院致死率有10%，乙醫院致死率有1%。B要不要問些別的信息再作決定？

反例：

這時得了重病的B最好還是不要去乙醫院。

（4）A有一個不透明袋子里有3個紅球，2個白球。這些球質量、材料、形狀、大小都完全一樣。B先摸出一個球，再放回去，再摸出一個球。這兩次摸出的紅球個數的期望E(X)是多少？如果不把第一次摸出的球放回去，這兩次摸出的紅球個數的期望E(Y)是多少？

此時最好冷靜地列表枚舉摸出紅球的個數：

這樣就可以得出E(X)=(9/25)*2+(12/25)*1+(4/25)*0=1.2。

對于不放回的情況，也可以列表：

也就能得出E(Y)=(6/20)*2+(12/20)*1+(2/20)*0=1.2。

神奇的事是，E(X)=E(Y)=1.2！這個1.2有什么神奇的?想必是2*(紅球數/總球數)吧。

腦筋急轉彎結束了，下面進入正題。

二、全概率、全期望公式及其用法

先上公式：全概率公式：P(B)=ΣP(B|A_i)*P(A_i)；全期望公式：E(X)=ΣE(X|A_i)*P(A_i)；（X|A表示在A的條件下發生X的概率，所有A_i兩兩互不相容且其和為全集）

主要用法是根據這個列方程或者遞推式。下面來看幾道例題：

（1） A將B放進了一個房間里，這個房間有編號分別為1、2、3的三扇門和一個天窗。其中1號門通向的通道走10分鐘后會走到外面，2號門通向的通道走3分鐘會從天窗掉回房間，3號門通向的通道走3分鐘也會從天花板掉回房間。B比較蠢，他不會走天窗，也不知道上一次走了什么門，所以每次只能隨機在三扇門中選一扇走了。問B期望幾分鐘能走出去？

用枚舉法會發現走來走去會很亂，難以枚舉。但是可以這樣想：每次B有1/3的概率在10分鐘后出去，有1/3的概率在3分鐘后回到原狀態，有1/3的概率在5分鐘后回到原狀態。套用全期望公式，就可以列出這樣的式子：E(X)=10*(1/3)+(E(X)+3)*(1/3)+(E(X)+5)*(1/3)。最終解得E(X)=18。剛好是3+5+10，是巧合嗎？

（2）B喝醉了，站在懸崖的邊緣，他再走一步就會掉下去。他有1/2的概率向前走，有1/2的概率后退。A站在離懸崖10步遠的地方，但是他比較懶，所以只有當B走到A的位置時A才會將B帶離懸崖。問B成功被A救的概率時多少？

和上一題類似地，考慮狀態之間轉移。設P(X)為在距離懸崖X步的位置時獲救的概率。首先，當X=10時，B必然會被A救，所以P(10)=1。當X=9時，B有1/2的概率走到10，有1/2的概率走到8，所以P(9)=P(8)*(1/2)+P(10)*(1/2)。同理可得，P(8)=P(7)*(1/2)+P(9)*(1/2)，P(7)=P(6)*(1/2)+P(8)*(1/2)…，P(1)=P(0)*(1/2)+P(2)*(1/2)。當B站在懸崖邊緣，也就是X=0時，他有1/2的概率掉下去，有1/2的概率走到距離懸崖為2的地方，所以P(0)=0*(1/2)+P(1)*(1/2)。會發現0，P(0)，P(1)，…，P(10)是一個等差數列，解得P(0)=1/11。B聽上去被坑了的樣子。

（3）A有個不透明袋子，袋中有a個紅球，b個白球。他還有無限個白球。所有的球質量、材料、形狀、大小都完全一樣。A讓B去摸球，無論摸出的是什么顏色，都會放回去一個白球。A與B約定在n次操作后袋內所有白球都給B。問n次操作后，B拿到的球的個數X_n的期望？

?

?三、畫圖法

多用于幾何概型。

順便說一句，對于幾何概型，必須明確隨機數的生成方式。如果不這么做就容易出這些事故：

（1）對于半徑為1的圓O，隨機求一條弦AB，問AB>的概率。

?a.在圓O上隨機取點A,B，連接AB得出弦AB。這樣相當于先固定A點（因為第一個點在哪都一樣），再隨機取B點。

如圖，弧AC等于弧CD等于弧AD。當B在弧AC上或在弧AD上時，AB<，當B在弧CD上時，AB＞。弧CD占整個圓的1/3，所以AB＞的概率是1/3。

b.取弦AB中點M，會發現當OM<1/2時AB>。

如圖，以O為圓心，以1/2為半徑，作小圓O。當點M在小圓O內部時，AB>。小圓O的面積是大圓O的1/4，所以AB>的概率是1/4。

如圖，作半徑OE，取線段OE的中點F。當M在線段OF上時，AB>。OF=(1/2)OE，所以AB>的概率是1/2。

（2）在直角三角形ABC中，，，AC=1，隨機取一點M,問的概率。

?在邊AC、AB、BC、整個平面上、三角形里、某個角里取點的答案都是不同的。

下面是幾道畫圖法的例題：

（1）平面上有無數條兩兩平行的直線，相鄰兩條之間距離為d?，F在往平面上投一根針，針的長度為l (l<d)，問針與直線有交點的概率？

?

（2）圓周上隨機取三點A，B，C，問圓心O在以這三個點為頂點的概率？

?

（3）有一根長度為1的棍子，隨機取棍子上兩點，在這兩點處切開棍子，使它斷為三段。問這三段能拼成一個三角形的概率？

?

（4）A早上會在7:00-8:00中隨機一個時刻出發去學校，B早上會在6:30-7:30中隨機一個時刻去拜訪A。問B見到A的概率？

?

某道神題（因為不知道該如何歸類）：共有2n+1個元件，每一個有p的概率正常工作，當正常工作的總數達到n+1個時，整個系統才能正常工作。問：當p=1/2時，系統正常工作的概率是多少？寫出系統正常工作的概率f(n)的遞推式？

To be continued......

宣傳一波廣義嘔吐之光（現在是電教了（現在是電教G了（現在是電教X了（現在是電教XX了））））：

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轉載于:https://www.cnblogs.com/xzyf/p/8503082.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的并不对劲的概率与期望的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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