米切爾·費(fèi)根鮑姆（圖片來(lái)源：Flickr）

　　40 多年前的洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，一位助手對(duì)一類數(shù)列的研究引起了轟動(dòng)，因?yàn)樗婕傲舜笞匀坏暮诵牡拿孛埽簭倪@個(gè)數(shù)列中，可以發(fā)現(xiàn)大自然中一個(gè)基本的無(wú)量綱常數(shù)——4.6692……。這個(gè)常數(shù)像圓周率一樣，充滿了神秘的未知，也引領(lǐng)著科學(xué)的發(fā)展。

　　撰文：張華

　　國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的“小助手”

　　米切爾·費(fèi)根鮑姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944 年出生在美國(guó)費(fèi)城。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后，費(fèi)根鮑姆一家遷回紐約布魯克林居住。他的父親在紐約港務(wù)局工作，母親在公立學(xué)校教書。

　　在少年時(shí)代，費(fèi)根鮑姆對(duì)電氣工程師產(chǎn)生了朦朧的興趣，因?yàn)樗私獾诫姎夤こ處熆梢匝芯渴找魴C(jī)，而且收入很高。因此，高中時(shí)的他選擇了紐約市立大學(xué)的電氣工程專業(yè)。不過(guò)，他上了大學(xué)才明白，自己渴望了解的收音機(jī)知識(shí)“只不過(guò)是物理學(xué)的一小部分”。

　　所以，1964 年從紐約市立大學(xué)畢業(yè)后，費(fèi)根鮑姆進(jìn)入麻省理工學(xué)院攻讀粒子物理學(xué)的博士學(xué)位。1970 年，費(fèi)根鮑姆獲得物理學(xué)的博士學(xué)位，但這時(shí)，費(fèi)根鮑姆對(duì)物理學(xué)的興趣也有所轉(zhuǎn)移，他開(kāi)始喜歡上了數(shù)學(xué)——嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，他希望用當(dāng)時(shí)還比較罕見(jiàn)的計(jì)算機(jī)來(lái)算一些數(shù)字。在他之前，已經(jīng)有一位叫洛倫茲的物理學(xué)家利用計(jì)算機(jī)做天氣預(yù)報(bào)，計(jì)算機(jī)編程也開(kāi)始成為科學(xué)研究的手段。洛倫茲首次在微分方程組中發(fā)現(xiàn)了“混沌現(xiàn)象”的代表——蝴蝶效應(yīng)。

　　博士畢業(yè)后，費(fèi)根鮑姆進(jìn)入了康奈爾大學(xué)，但因?yàn)樗苌侔l(fā)表論文，看起來(lái)物理研究做得很一般。1972 年，費(fèi)根鮑姆來(lái)到弗吉尼亞理工學(xué)院，一邊教書一邊思考自己感興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這時(shí)的他有點(diǎn)“非主流”——當(dāng)時(shí)粒子物理學(xué)家的“主流”工作是，面對(duì)加速器對(duì)撞機(jī)不斷生成的粒子數(shù)據(jù)，研究標(biāo)準(zhǔn)模型、解釋強(qiáng)相互作用與弱相互作用的本質(zhì)。1974 年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室理論部給一個(gè)教授做助手。

　　費(fèi)根鮑姆只在洛斯阿拉莫斯實(shí)驗(yàn)室謀到一個(gè)助手的職位。雖然地位不高、工資也不高，但費(fèi)根鮑姆可以用那里的計(jì)算機(jī)做科學(xué)計(jì)算。對(duì)他來(lái)說(shuō)，這已經(jīng)足夠了。

　　利用計(jì)算機(jī)，他發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)很深邃的常數(shù)，相當(dāng)于“發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的圓周率”，這一舉奠定了自己在數(shù)學(xué)物理界的宗師地位。有人甚至預(yù)測(cè)，他可能因?yàn)檫@一貢獻(xiàn)而獲得諾貝爾獎(jiǎng)。

　　拋物線映射

　　為了理解費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)，我們需要從數(shù)列的周期說(shuō)起。

　　最簡(jiǎn)單的周期性數(shù)列可以很任意，比如以下數(shù)列：

　　1，2，1，2，1，2 ……

　　當(dāng)然，還有一些數(shù)列的周期性則要復(fù)雜的多，也要有趣得多。

　　比如費(fèi)根鮑姆研究的數(shù)列：

　　也可以表現(xiàn)出周期性，而且隨著參數(shù)b的不斷增加，它表現(xiàn)出來(lái)的周期性會(huì)不斷增加，會(huì)從二周期變成四周期，然后變成八周期……

　　這個(gè)數(shù)列在數(shù)學(xué)或者物理學(xué)上被叫做“邏輯斯蒂映射”或者“拋物線映射”。

　　為了方便理解，我們假設(shè)這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是一個(gè)比 1 小的正數(shù)。前面已經(jīng)說(shuō)到，這個(gè)映射其實(shí)可以看成是一個(gè)拋物線映射，因?yàn)楹笠豁?xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系滿足拋物線的方程。

　　所以，這里的關(guān)鍵問(wèn)題是，常數(shù)b等于多少——b的數(shù)值是任意的，但做數(shù)值計(jì)算時(shí)，必須首先設(shè)定這個(gè)參數(shù)。

　　費(fèi)根鮑姆固定了不同的參數(shù)b，利用計(jì)算機(jī)算這個(gè)數(shù)列的后續(xù)項(xiàng)。很容易看出，當(dāng)常數(shù)b選擇到一些特定的數(shù)字時(shí)，經(jīng)過(guò)多次迭代，整個(gè)數(shù)列最后會(huì)收斂到一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”。即當(dāng)n較大時(shí)，數(shù)列中的后續(xù)項(xiàng)變成了：

　　這相當(dāng)于，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是拋物線方程的一個(gè)根。不動(dòng)點(diǎn)其實(shí)就是“周期1”（周期為1）。

　　隨后，費(fèi)根鮑姆繼續(xù)調(diào)整參數(shù)b。

　　他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b增大到 3 的時(shí)候，系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)就消失了，而是出現(xiàn)了周期 2 分叉，最后穩(wěn)定下來(lái)的情況是x_n在兩個(gè)值之間跳來(lái)跳去。

　　隨后，費(fèi)根鮑姆繼續(xù)調(diào)整參數(shù)b，讓b繼續(xù)增大。當(dāng)b增加到了一定程度，周期會(huì)從 2 變成4。繼續(xù)增加b，周期又會(huì)相繼變?yōu)?8 與 16……這個(gè)現(xiàn)象叫做倍周期分叉。

　　費(fèi)根鮑姆常數(shù)

　　如果只發(fā)現(xiàn)了這些現(xiàn)象，是無(wú)法構(gòu)成一篇完美、具有歷史價(jià)值的論文的。但是，費(fèi)根鮑姆的偉大之處在于，他開(kāi)始考慮當(dāng)參數(shù)b滿足什么條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)倍周期的分叉、這些分叉點(diǎn)的參數(shù)b又有什么特點(diǎn)。

　　終于，在 1978 年的《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》期刊上，費(fèi)根鮑姆發(fā)表了他的重要發(fā)現(xiàn)。

　　在費(fèi)根鮑姆的文章中，他用希臘字母δ來(lái)標(biāo)記這個(gè)常數(shù)

　　在費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)中，出現(xiàn)倍周期分叉的相鄰參數(shù)b之間可以定義出一個(gè)差值（相當(dāng)于距離）。比如b₁就是開(kāi)始出現(xiàn) 2 周期分叉時(shí)的參數(shù)值；b₂是開(kāi)始出現(xiàn) 4 周期分叉時(shí)的參數(shù)值；而b₃是開(kāi)始出現(xiàn) 8 周期分叉時(shí)的參數(shù)值。

　　費(fèi)根鮑姆的重要發(fā)現(xiàn)如下：出現(xiàn)倍周期分叉的b的那些數(shù)值，距離之比接近一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)大概等于 4.6692……。

　　費(fèi)根鮑姆同時(shí)還研究了別的映射，比如三角函數(shù)相關(guān)的映射，也得到了同樣的常數(shù)。于是，他強(qiáng)調(diào)，這個(gè)數(shù)是“普適的”（universal）。也就是說(shuō)，這個(gè)數(shù)不但對(duì)拋物線映射成立，而且對(duì)其他很多類似的映射也成立。

　　這意味著，這個(gè)常數(shù)背后有一個(gè)巨大的秘密。后來(lái)有人用量子統(tǒng)計(jì)與量子場(chǎng)論中的重整化群對(duì)這個(gè)常數(shù)進(jìn)行了研究，取得了更多的進(jìn)展。這個(gè)常數(shù)看起來(lái)比圓周率更深邃，但它的幾何意義到底是什么，一直沒(méi)有人能說(shuō)清楚。甚至連這個(gè)常數(shù)到底是不是一個(gè)無(wú)理數(shù)，至今也還沒(méi)有答案。

　　但我們確定的是，費(fèi)根鮑姆常數(shù)與混沌理論有著密切的聯(lián)系。費(fèi)根鮑姆常數(shù)在拋物線映射中發(fā)現(xiàn)的倍周期分叉，其實(shí)是另一種“混沌”的前奏（數(shù)列是一種離散動(dòng)力系統(tǒng)，離散動(dòng)力系統(tǒng)中也存在混沌）。

　　由于費(fèi)根鮑姆的常數(shù)大于1，也就是說(shuō)倍周期分叉的“距離”之比是一個(gè)等比數(shù)列，而這個(gè)等比數(shù)列雖然有無(wú)限多項(xiàng)，但總和是有限的。在參數(shù)b小于 3.57 時(shí)，這種以 2 為周期開(kāi)始的倍周期分叉已經(jīng)結(jié)束了。而當(dāng)參數(shù)b大于 3.57 時(shí)，開(kāi)始出現(xiàn)周期 3 開(kāi)始的倍周期分叉——而根據(jù)李天巖與約克的定理：“周期 3 的出現(xiàn)預(yù)示著混沌的出現(xiàn)”，這意味著在拋物線映射中，也是可以出現(xiàn)混沌的。

　　無(wú)論是洛倫茲發(fā)現(xiàn)的微分方程（連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)）中的混沌，還是費(fèi)根鮑姆發(fā)現(xiàn)的數(shù)列中的混沌，都標(biāo)志著一項(xiàng)新的物理學(xué)革命。混沌現(xiàn)象都是用計(jì)算機(jī)意外發(fā)現(xiàn)的，這也是電腦幫助人們做科學(xué)研究的典范。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的4.6692……：一个比圆周率更神秘的常数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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