基礎習題

例1已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(B\subseteq A\)，則實數\(m\)的取值范圍是什么？

分析：集合A為定集，集合B為動集，又因為出現了條件\(B\subseteq A\)，故需要針對集合B分類討論如下：

1、當集合\(B=\varnothing\)時，則有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；

2、當集合\(B\neq\varnothing\)時，必須滿足三個條件，即\(\begin{cases}&m+1<2m-1\\&-2\leq m+1\\&2m-1\leq 7\end{cases}\)，解得\(2<m\leq 4\)；

綜上所述：實數\(m\)的取值范圍是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。

例1-1上例中是否存在實數\(m\)，使得\(A\subseteq B\)？若存在，求其取值范圍，若不存在說明理由。

分析：自行畫出草圖可知，若存在滿足題意的實數\(m\)，則必滿足條件\(\begin{cases}&m+1< -2\\&2m-1> 7\end{cases}\)，解得\(m\in \varnothing\)。故這樣的實數不存在。

例2若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求實數\(m\)的取值范圍。

分析：自行畫出草圖可知，先列出條件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，接下來驗證\(m=-3\)是否滿足題意。

當\(m=-3\)時，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此時\(A=B\)，不滿足題意，舍去，故實數\(m\)的取值范圍為\(\{m\mid m<-3\}\)。

例3已知集合\(A=\{2x，\cfrac{y-1}{x}，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+y，0\}\)，若\(A=B\)，求\(x+y\)=____________.

分析：本題目就對應相等的方向上有\(A\rightarrow B\)和\(B\rightarrow A\)兩個方向，但是由\(B\rightarrow A\)比較簡單，故求解如下

由\(0=2x\)，推出集合A中分母為0，故只能是\(0=\cfrac{y-1}{x}\)，故\(y=1\)，此時集合\(A=\{2x，0，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+1，0\}\)，這時候的對應要么\(2x=x^2\)要么\(2x=x+1\)，

當\(2x=x^2\)時，解得\(x=0或x=2\)，當\(x=2\)時，集合\(A=\{4，0，1\}\)，集合\(B=\{4，3，1\}\)，驗證都不滿足題意；

當\(2x=x+1\)時，解得\(x=1\)，驗證得到此時\(A=\{2，0，1\}=B=\{1，2，0\}\)，滿足題意，則\(x=1\)，故\(x+y=2\)。

例4(2015☆太原月考)已知集合\(M=\{(x，y)\mid y=x^2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid y=2^x\}\)，則\(M\cap N\)的元素個數是幾個？

分析：應該比較容易想到\(M\cap N\)的元素個數就是兩個函數的圖像的交點個數，但難點是這兩個函數圖像的交點，絕大多數學生會畫錯的，在\(x<0\)處有一個交點，在\(x>0\)處應該有兩個交點，因為\(x=2\)或\(x=4\)時，\(x^2=2^x\)。故所求的元素個數是3個。

例5已知集合\(A=\{0,1,2\}\)，集合B滿足\(A\cup B=\{0,1,2\}\)，則滿足題意的集合B的個數是幾個？

分析：由題目可知，本題實質是求集合A的所有子集的個數，故有\(2^3=8\)個。

例6已知集合\(A=\{-1,1\}\)，集合B滿足\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，則滿足題意的集合B的個數是幾個？

分析：由于要求\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，故集合\(B\)的構成分為兩步：第一步必須選必選元素\(0\)，第二步從可選元素\(-1,1\)中分別選出0個，1個，2個元素，即就是求集合\(\{-1,1\}\)的所有子集的個數，故有\(2^2=4\)個。

例7(2017銅川模擬)若集合\(A=\{x \in R\mid ax^2-3x+2=0\}\)中只有一個元素，求\(a\)的值。

分析：由于給定的方程\(ax^2-3x+2=0\)是仿二次方程，故需要針對\(a\)分類討論：

當\(a=0\)時，\(x=\cfrac{2}{3}\)，此時\(A=\{\cfrac{2}{3}\}\)滿足題意；

當\(a\neq 0\)時，二次方程必須有兩個相等的根，由\(\Delta=0\)得到\(a=\cfrac{9}{8}\)，

故\(a=0\)或\(a=\cfrac{9}{8}\)。

例8設集合A=\(\{x\in R\mid 2x^2+ax-a^2=0\}\)，\(1\in\) A，\(-2\not\in\) A。

(1)求\(a\)的值，并寫出A的所有子集。

(2)若集合B=\(\{x\in R\mid x^2+(m-3)x+m=0\}\),\((C_RA)\cap B=\varnothing\),求實數\(m\)的集合。

【解析】(1)因為\(1\in A\)，所以\(2×1^2+a×1-a^2=0\)，解得\(a=-1\)或\(a=2\)

當\(a=2\)時，\(A=\{1，-2\}\)，與已知\(-2\not\in A\)矛盾，所以\(a\neq 2\)

當\(a=-1\)時，\(A=\{ x\in R\mid 2x^2-x-1=0\}=\{1，-\cfrac{1}{2}\}\)，符合題意。

所以A的所有子集為\(\varnothing\)，\(\{1\}\)，\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，\(\{1，-\cfrac{1}{2}\}\)。

(2)因為\((C_RA)\cap B=\varnothing\)，所以\(B\subseteq A\)，由于方程\(x^2+(m-3)x+m=0\)的判別式\(\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9\)，所以按照判別式的符號分類討論如下：

①當\(\Delta<0\)即\(1<m<9\)時，集合B為空集，符合題意。

②當\(\Delta=0\)即\(m=1\)或\(m=9\)時，若\(m=1\)，則\(B=\{1\}\)，符合題意，若\(m=9\)，則\(B=\{-3\}\)，不符合題意，舍去。

③當\(\Delta>0\)即\(m<1\)或\(m>9\)時，集合\(B\)有兩個元素，所以\(B=A\)，所以\(\begin{cases}-\cfrac{1}{2}+1=-(m-3)\\(-\cfrac{1}{2})\times1=m\end{cases}\)矛盾，舍去。所以實數\(m\)的值構成的集合為\([1，9)\)。

例9已知集合\(A=\{1，2，3，4，5\}\) ，\(B=\{x-y\mid x\in A，y\in A，x-y\in A\}\),則\(B\)中所含元素的個數為　(　　)

A.3 \(\hspace{2cm}\) B.6 \(\hspace{2cm}\) C.8 \(\hspace{2cm}\) D.10

【解析】選D，由\(x \in A\)，\(y \in A\)得\(x-y=0\)或\(x-y=\pm1\)或\(x-y=\pm2\)或\(x-y=\pm3\)或\(x-y=\pm4\),所以集合\(B=\{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)， (5，3)，(5，4)\}\)，所以集合\(B\)有10個元素。

例10若集合\(A=\{x\mid (k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且僅有兩個子集 ，則實數\(k\)的取值為　【】

\(A.2或-1\) \(\hspace{2cm}\) \(B.-2或-1\) \(\hspace{2cm}\) \(C.-2\) \(\hspace{2cm}\) \(D.\pm 2或-1\)

分析：有題目可知，集合\(A\)有且僅有兩個子集，說明集合\(A\)應該為單元素集合，

從而說明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)，可能有一次方程和二次方程兩種情形。

當\(k=-2\)時，原方程變形為一次方程\(-4x+1=0\)，僅有一個解，適合題意；

當\(k\neq -2\)時，原方程要僅有一個解，則必須\(\Delta =0\)，即\((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\)，解得\(k=2\)或\(k=-1\)，滿足題意，

綜上所述，實數\(k\)的取值為\(\pm 2或-1\)，故選\(D\)。

例11若集合\(M=\{0，1，2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid x-2y+1\ge 0且x-2y-1\leq 0，x，y\in M\}\)，則集合\(N\)的非空真子集的個數為　【】

\(A.30\) \(\hspace{2cm}\) \(B.14\) \(\hspace{2cm}\) \(C.16\) \(\hspace{2cm}\) \(D.32\)

分析：由于\(x，y\in M\)，集合\(M=\{0，1，2\}\)，故點\((x，y)\)的所有取值情形有9種，

即有\((0，0)\)，\((0，1)\)，\((0，2)\)，\((1，0)\)，\((1，1)\)，\((1，2)\)，\((2，0)\)，\((2，1)\)，\((2，2)\)，

將其分別代入條件\(x-2y+1\ge 0\)和\(x-2y-1\leq 0\)驗證，可知，\(N=\{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)\}\)，

故集合\(N\)的非空真子集的個數為\(2^4-2=14\)，選\(B\)。

例12已知集合\(A=\{x\mid 2x^2-3x-2\leq 0\}\)，\(B=[a，a+2]\)，若\(A\cap B=B\)，則實數\(a\)的取值范圍是【】

$A.[-\cfrac{5}{2}，-\cfrac{1}{2}]$ $B.[-\cfrac{1}{2}，0]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，2]$ $D.[0，2]$

分析：由\(a+2\leq 2\)且\(a\ge -\cfrac{1}{2}\)，得到\(a\in [-\cfrac{1}{2}，0]\)，故選\(B\)。

例13【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】設集合\(A=\{x |x^2\leqslant x \}\)，\(B=\{x |\cfrac{1}{x}\geqslant 1\}\)，則\(A\cap B\)=【】

$A.(-\infty，1]$ $B.[0，1]$ $C.(0，1]$ $D.(-\infty，-1]\cup (0，1]$

分析：訓練解不等式和集合運算，選\(C\).

例14【三輪模擬】設集合\(M=\{x\in R |(x-1)^2\leqslant 1\}\)，\(P=\{x\in R |\cfrac{x-1}{x+2}\leqslant 0\}\)，則\(M\cap P\)=【】

$A.(-2，1]$ $B.[-1，3]$ $C.[0，1]$ $D.(-2，-1]$

分析：訓練解不等式和集合運算，選\(C\).

拔高習題

例1(2016.湖北七市聯考)已知集合\(P=\{n|n=2k-1，k\in N^*，k\leq 50\)，\(Q=\{2，3，5\}\)，則集合\(T=\{xy|x\in P，y\in Q\}\)中元素的個數為多少？

分析：集合\(P\)中分別有50個元素，\(Q\)中分別有3個元素，兩兩相乘，不計重復共有\(50\times 3=150\)個元素，其中重復元素可以這樣統計：

當\(x\in P，y=2\)時，\(xy\)一定時偶數，而\(x\in P，y=3\)與\(x\in P，y=5\)時的\(xy\)值為奇數，二者不會重復；

但是\(x\in P，y=3\)與\(x\in P，y=5\)時的\(xy\)值都是奇數，有可能重復；具體的重復的個數計算如下：

令\(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)\)，\(k_1，k_2\in N^*，1\leq k_1，k_2\leq 50\)，變形為\(k_2=\cfrac{3k_1+1}{5}\)，當\(k_1=3，8，13，18，23，28，33，38，43，48\)時，對應的\(k_2\in N^*\)，故重復的元素有10個，故集合\(T=\)中元素的個數為\(150-10=140\)個。

例2已知集合\(A=\{x\in Z\mid x^2-3x+2\leq 0\}\)，\(B=\{x \mid \cfrac{1}{2}\leq 2^x\leq 4\}\)，則\(A\cap B\)的子集的個數是【 】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

提示：\(A\cap B=\{1，2\}\)，故選\(D\).

轉載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6782025.html

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總結

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