彼得大帝的科學(xué)院：蒙昧中的火炬

　　我曾經(jīng)寫(xiě)過(guò)德國(guó)哥廷根學(xué)派的故事《興衰成敗兩百年：黎曼猜想背后的德國(guó)哥廷根學(xué)派》。這次借著華為的故事，說(shuō)說(shuō)數(shù)學(xué)界另外一個(gè)重要流派，俄羅斯數(shù)學(xué)。

　　講俄羅斯的數(shù)學(xué)有個(gè)人不得不提一下，那就是歐拉。歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家。歐拉是 18 世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。

歐拉的故事可以單獨(dú)寫(xiě)一個(gè)系列，非常勵(lì)志的人生經(jīng)歷

　　俄羅斯在近代化之前一直是個(gè)相對(duì)比較落后的民族，俄羅斯躋身列強(qiáng)也是彼得大帝和葉卡捷琳之后的事情。當(dāng)彼得大帝剛剛即位的時(shí)候，俄羅斯是一個(gè)非常落后的國(guó)家。然而彼得大帝是個(gè)改革進(jìn)取的君主，他自己他在 1697 年，喬裝打扮到德國(guó)、荷蘭、英國(guó)等國(guó)考察，親身體驗(yàn)了西歐國(guó)家先進(jìn)的科技文化。

　　彼得一世回國(guó)后，馬上就在俄國(guó)推行歐化政策，進(jìn)行經(jīng)濟(jì)、軍事、文化、政治等一系列破舊立新。尤其在教育方面，為俄羅斯后面三百年的科技強(qiáng)國(guó)地位奠定了基礎(chǔ)。比如，在文化教育方面，彼得從頭開(kāi)始培養(yǎng)俄國(guó)自己的專門技術(shù)人才，建立了算術(shù)學(xué)校、造船學(xué)校、航海學(xué)校、炮兵學(xué)校、醫(yī)護(hù)學(xué)校、工程技術(shù)學(xué)校、礦業(yè)學(xué)校，還派了一批留學(xué)生到西歐去學(xué)習(xí)。彼得規(guī)定貴族子弟必須上學(xué)，必須學(xué)會(huì)算術(shù)和一門外語(yǔ)，否則，剝奪貴族的全部特權(quán)，甚至規(guī)定不畢業(yè)者，不準(zhǔn)結(jié)婚。

　　當(dāng)然技術(shù)和基礎(chǔ)科學(xué)還是很不一樣的，在彼得大帝生命的晚期，注意到了基礎(chǔ)科學(xué)的重要性，于是他在 1724 年建立了國(guó)家科學(xué)院。這是俄羅斯科學(xué)史上影響最深遠(yuǎn)的舉動(dòng)。

俄羅斯科學(xué)院 RAS

　　在彼得大帝和他的繼任者凱瑟琳女皇主政時(shí)期，科學(xué)院是一個(gè)對(duì)外國(guó)學(xué)者具有吸引力的地方?？茖W(xué)院有充足的資金來(lái)源和一個(gè)規(guī)模龐大的綜合圖書(shū)館，并且只招收非常少的學(xué)生，以減輕教授們的教學(xué)負(fù)擔(dān)。科學(xué)院還非常重視研究，給予教授們充分的時(shí)間及自由，讓他們探究科學(xué)問(wèn)題 。

　　在這個(gè)時(shí)候，歐洲大陸上被家族勢(shì)力擠兌的很厲害的伯努力兄弟，就流竄到俄羅斯這個(gè)學(xué)術(shù)蠻荒之地去了。一個(gè)是尼古拉伯努利 Nicolas Bernoulli 一個(gè)是丹尼爾伯努利 ，兩個(gè)人都是約翰伯努利之子，雖然約翰堅(jiān)決反對(duì)兩個(gè)兒子進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域，但是丹尼爾伯努利在科學(xué)的天份和成績(jī)上應(yīng)該是超越其父的。（最近任正非的講話中提到過(guò)這段趣聞）

三代進(jìn)士何足提，滿門學(xué)霸天下奇

　　后來(lái)丹尼爾伯努利把他爹（約翰伯努利）的學(xué)生拐到圣彼得堡科學(xué)院，這個(gè)人就是歐拉。

　　1727 年 5 月 17 日歐拉來(lái)到了彼得堡．1733 年，年僅 26 歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授．1735 年，歐拉解決了一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算慧星軌道），這個(gè)問(wèn)題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了．然而過(guò)度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時(shí)他才 28 歲．

　　1741 年左右，俄羅斯內(nèi)部持續(xù)動(dòng)蕩，歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請(qǐng)，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)直到 1766 年。沙皇喀德林二世的誠(chéng)懇敦聘下重回彼得堡就職，直至去世。在俄羅斯科學(xué)院，歐拉作出了大量的成果，是當(dāng)時(shí)歐洲數(shù)學(xué)的一個(gè)重要山頭，他培養(yǎng)激勵(lì)了一大批后來(lái)者。歐拉也成為俄羅斯最著名的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家之一。（md，寫(xiě)歐拉就那么多篇幅，后面那么多司機(jī)和諾夫咋辦）

　　圣彼得堡學(xué)派的崛起

　　圣彼得堡學(xué)派真正成為一個(gè)主流學(xué)派還需要經(jīng)歷幾代人，比如巴切夫斯基(1792-1856) 和切比雪夫(1821-1894)。羅巴切夫斯基是非歐幾何的創(chuàng)造者，而且用一輩子去捍衛(wèi)真理，贏得了“幾何學(xué)中的哥白尼”的贊譽(yù)。羅巴切夫斯基是在喀山大學(xué)成長(zhǎng)起來(lái)的，所以他受德國(guó)數(shù)學(xué)的影響比較大。而切比雪夫則是圣彼得堡學(xué)派的締造者和代表人物。

　　切比雪夫的主要研究方向是分析，他在概率論，數(shù)論，函數(shù)論方面成就斐然。切比雪夫不等式，切比雪夫?yàn)V波器，我想學(xué)過(guò)理工的應(yīng)該都如雷貫耳。切比雪夫真正為俄羅斯數(shù)學(xué)做出的貢獻(xiàn)在于他培養(yǎng)出來(lái)許多優(yōu)秀的繼承者，與哥廷根學(xué)派的克萊因和希爾伯特的作用類似。

復(fù)習(xí)一下巴特沃斯濾波器，切比雪夫?yàn)V波器

　　一個(gè)流派，不是一個(gè)人的成功，而是一個(gè)強(qiáng)大的梯隊(duì)。有第一梯隊(duì)，第二梯隊(duì)，儲(chǔ)備人才，在各個(gè)方向上都開(kāi)始突破。切比雪夫就是那個(gè)承前啟后的人物，，不僅僅自己很優(yōu)秀，而且把善于發(fā)現(xiàn)人才，培養(yǎng)人才。

　　比如，切比雪夫的學(xué)生就有兩位非常非常著名的大數(shù)學(xué)家馬爾可夫(1856-1922) 和李亞普洛夫(1857-1918)，這兩位我想學(xué)過(guò)隨機(jī)過(guò)程和微分方程的人都應(yīng)該聽(tīng)說(shuō)過(guò)。馬爾科夫是隨機(jī)過(guò)程論的開(kāi)創(chuàng)者，他創(chuàng)造的這一領(lǐng)域影響了科學(xué)多方面的發(fā)展，同時(shí)他在統(tǒng)計(jì)和數(shù)論方面也有建樹(shù)。馬爾可夫過(guò)程在今天很熱門的領(lǐng)域中依然起著巨大的作用。比如隱馬爾可夫模型(HMM）是深度學(xué)習(xí)興起前語(yǔ)音識(shí)別最有效的方法。（現(xiàn)在不知道了，好久沒(méi)有跟進(jìn)展了）。

　　而李亞普洛夫則是微分方程穩(wěn)定性理論的開(kāi)創(chuàng)者之一，和龐加萊共享這一榮譽(yù)。同時(shí)他引入了特征函數(shù)這一強(qiáng)有力的工具，簡(jiǎn)潔地解決了很多問(wèn)題。學(xué)過(guò)自動(dòng)控制理論的都應(yīng)該拜過(guò)這位神仙。

李亞普洛夫

　　莫斯科學(xué)派的興起

　　而后世與圣彼得堡學(xué)派爭(zhēng)霸的莫斯科學(xué)派，還在襁褓之中。但是由于學(xué)術(shù)交流的溢出效應(yīng)以及數(shù)學(xué)的傳承。導(dǎo)致莫斯科在 20 世紀(jì)初也逐漸涌現(xiàn)出一些新星。其中代表人物是葉戈羅夫 Dmitri Egorov 和魯津。

　　葉戈羅夫是個(gè)悲劇性的人物，此人是東正教的忠實(shí)的信徒，即便是十月革命之后依然堅(jiān)定地捍衛(wèi)東正教反對(duì)馬克思主義。因?yàn)樗膶W(xué)術(shù)地位在 1921 年被選為莫斯科數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，1923 年成為莫斯科大學(xué)的力學(xué)與數(shù)學(xué)系主任。但是由于他強(qiáng)烈反對(duì)官方壓迫東正教，1929 年官方開(kāi)始公開(kāi)批判這位數(shù)學(xué)家。1930 年被逮捕，1931 年，因?yàn)榉答囸I抗議而再次被捕，最后死于朋友家中。

　　但是葉戈羅夫?yàn)槟箍茖W(xué)派的蓬勃發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，他在莫斯科大學(xué)期間經(jīng)常開(kāi)辦數(shù)學(xué)討論班鼓勵(lì)學(xué)術(shù)交流，使得莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派開(kāi)始崛起，并且成為為促使數(shù)學(xué)從經(jīng)典數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一支重要力量。

　　葉戈羅夫討論班最大的成果是收獲了數(shù)學(xué)大師魯津。此人又是那種承前啟后的人物，本身是實(shí)分析的大師，編寫(xiě)了一些經(jīng)典教科書(shū)，同時(shí)有培養(yǎng)了一大波大師。比如大名鼎鼎的柯?tīng)柲缏宸?。在柯?tīng)柲缏宸驎r(shí)代，莫斯科學(xué)派迎來(lái)它的巔峰時(shí)刻。

這位大魔王的事跡數(shù)不勝數(shù)

　　這個(gè)家伙，在 1925 年大學(xué)畢業(yè)的時(shí)候，一年時(shí)間發(fā)表了 8 篇論文?。。《颐恳黄撐亩加行赂拍?，新思路，新方法！大家學(xué)過(guò)概率論都應(yīng)該知道大數(shù)定律，強(qiáng)大數(shù)定律就是這位老兄的杰作。

　　1930 年代，他在概率論、射影幾何、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、實(shí)變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、逼近論、微分方程、數(shù)理邏輯、生物數(shù)學(xué)、哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)方法論等方面發(fā)表論文 80 余篇。平均每年 8 篇，而且不同領(lǐng)域！

　　1940 年代，這個(gè)家伙又去搞湍流理論了。1941 年，這家伙一口氣發(fā)了三篇文章，一舉奠定了流體力學(xué)界一代宗師的地位。江湖人稱 K41 理論。這個(gè)理論是空氣動(dòng)力學(xué)（飛行器設(shè)計(jì)），潛艇設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

湍流理論模擬

飛行器設(shè)計(jì)

如何才能設(shè)計(jì)最好的流線型，產(chǎn)生最小的阻力與噪音

　　據(jù)我所知，中國(guó)在這塊無(wú)論是理論還是產(chǎn)品離國(guó)際先進(jìn)水平還有很大的距離。比如現(xiàn)在業(yè)界用的最廣泛的模擬軟件 Ansys Fluent 就是美國(guó)的產(chǎn)品。

背后是數(shù)學(xué)和軟件的差距，而且是巨大的差距

　　蘇聯(lián)數(shù)學(xué)的大繁榮

　　美蘇進(jìn)入冷戰(zhàn)后，蘇聯(lián)深知科技的競(jìng)爭(zhēng)首先是基礎(chǔ)科學(xué)的競(jìng)爭(zhēng)。所以蘇聯(lián)把教育提到國(guó)家安全戰(zhàn)略的高度，投入了大量的人力物力打造了一套非常高效的人才培養(yǎng)體制。而且在文化上，杰出的科學(xué)家，比如物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，就是跟歐美的搖滾明星一樣受到全民的崇拜。青少年成長(zhǎng)的過(guò)程中被灌輸了這樣的文化觀念，許多人都?jí)粝氤蔀榭茖W(xué)家的。

　　教育上的國(guó)家戰(zhàn)略，具體來(lái)講，就是以前的蘇聯(lián)投入很大比例的政府資金到學(xué)校的 STEM 科目（也就是科學(xué)，技術(shù)，工程和數(shù)學(xué)）。這套體制在太空競(jìng)賽期間初期，讓美國(guó)大受刺激。美國(guó)在 60 年代也學(xué)習(xí)了一些蘇聯(lián)的體制，大力搞 STEM。50 年代，中國(guó)向蘇聯(lián)老大哥學(xué)習(xí)了這樣教育制度，許多理工大學(xué)、工業(yè)大學(xué)等單科或者文理綜合的高校誕生了。雖然中國(guó)沒(méi)有學(xué)到老大哥的那套精髓，但是這個(gè)體制每年培養(yǎng)出來(lái)幾百萬(wàn)合格工程師，就讓西方很頭大。

　　前蘇聯(lián)在培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才方面是非常有一套的，后來(lái)逐漸形成了圣彼得堡，莫斯科，喀山，明斯克等等地方數(shù)學(xué)研究中心。簡(jiǎn)單來(lái)講就是培養(yǎng)興趣，鼓勵(lì)交流，層層選拔，證明自己。

　　1、培養(yǎng)興趣

　　前蘇聯(lián)，小學(xué)是不搞什么奧數(shù)的，更多是培養(yǎng)興趣?？?tīng)柲缏宸虻囊粋€(gè)理論是：

一些家長(zhǎng)和教師企圖從 10～12 歲左右的學(xué)生中挖掘有數(shù)學(xué)才能的孩子，這樣做會(huì)害了孩子。但到了 14～16 歲，情況發(fā)生變化。這個(gè)年齡段的孩子對(duì)于數(shù)學(xué)有無(wú)興趣通常明顯地表現(xiàn)出來(lái)。其中約有一半的學(xué)生斷定數(shù)學(xué)物理對(duì)他們并無(wú)多大用處，這些學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)特殊的簡(jiǎn)化課程。另一半學(xué)生的數(shù)學(xué)教育就可以更有效地進(jìn)行。而這些學(xué)生在選擇數(shù)學(xué)作為大學(xué)專業(yè)時(shí)，還應(yīng)測(cè)驗(yàn)一下自己對(duì)于數(shù)學(xué)的適應(yīng)性--運(yùn)算能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力。

　　培養(yǎng)興趣階段，蘇聯(lián)推出了大量培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣的圖書(shū)和活動(dòng)。比如這本書(shū)，也曾經(jīng)引進(jìn)過(guò)中國(guó)《莫斯科智力游戲》，喚起了大量孩子對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

這本書(shū)今天在美國(guó)依然很流行

　　2、鼓勵(lì)交流

　　俄羅斯真正的精英教育始于初中階段。在學(xué)生小學(xué)即將畢業(yè)時(shí)，他們可以從全國(guó)公開(kāi)發(fā)行的一本數(shù)學(xué)物理科普雜志 Quant 中得到一份試題，學(xué)生可以把自己做好的試題答案寄到其所在城市的指定部門，再由專家評(píng)閱試卷，成績(jī)得出之后，城市的指定部門再組織對(duì)通過(guò)筆試的同學(xué)進(jìn)行面試。參加對(duì)學(xué)生進(jìn)行面試的人員包括中學(xué)教師、大學(xué)教授及科學(xué)研究所的研究人員。被選中的同學(xué)將進(jìn)入所謂的“數(shù)學(xué)專業(yè)中學(xué)”學(xué)習(xí)。在三年以后初中升高中時(shí)，將有一次晉級(jí)考試，弱者將轉(zhuǎn)入普通高中。

　　在這種數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)校中，除了接受普通的中學(xué)教育之外，還會(huì)將一半左右的時(shí)間花在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上。而且每周去各個(gè)城市的的少年宮去聽(tīng)一些頂級(jí)教授們的講課。這些課外的課程的設(shè)計(jì)得深入淺出，與前沿?cái)?shù)學(xué)研究中重大問(wèn)題的提出、現(xiàn)在發(fā)展的階段乃至其解決緊密相聯(lián)。為了讓學(xué)生理解并掌握好內(nèi)容，俄羅斯科學(xué)院聯(lián)合很多大學(xué)一起為這一類課程配備了大量的助教，這些助教一般包括大學(xué)三年級(jí)以上的數(shù)學(xué)系學(xué)生和各級(jí)大學(xué)教師、科研人員等，并且他們以前也都是畢業(yè)于這種數(shù)學(xué)專業(yè)中學(xué)的學(xué)生，基本上每三位中學(xué)生配備一位助教。

　　也就是說(shuō)如果你真的是數(shù)學(xué)天才，在你觸手可及的地方就有全蘇聯(lián)最頂級(jí)的人才團(tuán)隊(duì)輔助你，如果你有什么想法，或者想和別人交流，沒(méi)有什么可以阻擋你。

　　蘇聯(lián)基礎(chǔ)科學(xué)的傳播是非常重視交流的，除了本地的少年宮交流之外，還有夏令營(yíng)交流。他們的夏令營(yíng)不是為了搞奧賽金牌。而是真正的交流，一遍學(xué)習(xí)，一遍玩。在這些夏令營(yíng)的地方，天才們會(huì)遇到來(lái)個(gè)其他地方的天才，比如你感興趣函數(shù)，你可以找到函數(shù)的同好一起交流。幾年下來(lái)就會(huì)形成一個(gè)小圈子。

　　3、層層選拔

　　這次數(shù)學(xué)專業(yè)中學(xué)的學(xué)生經(jīng)過(guò)前面的交流，有天分的很快就會(huì)在人群中顯露出來(lái)。每年只有少數(shù)人進(jìn)入莫斯科大學(xué)，圣彼得堡大學(xué)的實(shí)驗(yàn)班學(xué)習(xí)（一個(gè)班 30 多人）（清華的姚班是中國(guó)的翻版）。這些實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生，有非常大的選課自由，可以跨系選，可以跨學(xué)校選，甚至可以直接跟科學(xué)院的研究員進(jìn)行研究，寫(xiě)論文?？蒲信c教育相結(jié)合是蘇聯(lián)能夠大批培養(yǎng)年輕科學(xué)家的重要原因。這些實(shí)驗(yàn)班自由歸自由，但是學(xué)風(fēng)非常嚴(yán)謹(jǐn)，一門不及格留級(jí)，兩門不及格開(kāi)除（政治和體育除外）。

　　在這種嚴(yán)酷的淘汰機(jī)制下，真正能生存下來(lái)的不到 10 名。這些人基本上都已經(jīng)證明了一些數(shù)學(xué)定理，并且開(kāi)始撰寫(xiě)論文，有的人已經(jīng)開(kāi)始將論文發(fā)表出來(lái)了。而且他們已經(jīng)在各個(gè)名師的討論班里，非?；钴S，一個(gè)新星冉冉誕生。

　　4、證明自己

　　這些幸存下來(lái)的學(xué)生，需要進(jìn)一步證明自己是一個(gè)合格的數(shù)學(xué)家。就要去定方向，解決問(wèn)題，發(fā)論文。這是非常非常挑戰(zhàn)性的事情。他們需要根據(jù)自己和各個(gè)討論班老師的交流，自己的興趣，選擇一個(gè)方向，然后去做論文。而老師給他們的題目很多都是數(shù)學(xué)界公認(rèn)的難題。學(xué)生需要通過(guò)論文證明自己的實(shí)力。

　　前蘇聯(lián)的這套體制的為俄羅斯批量培養(yǎng)了大量的基礎(chǔ)學(xué)科的人才，讓前蘇聯(lián)不到美國(guó) 60% 的 GDP 和美國(guó)抗衡了那么多年。

　　蘇聯(lián)科學(xué)家的論文大多都是以俄文發(fā)表的。而美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)聯(lián)合起來(lái)，將俄國(guó)幾乎所有的知名綜合數(shù)學(xué)雜志以及眾多的專業(yè)數(shù)學(xué)雜志一字不漏地全部翻譯成英文。大量的蘇聯(lián)教科書(shū)被翻譯成英文等多種文字在全世界發(fā)行并應(yīng)用，也說(shuō)明了人們對(duì)這一教育、科研體系的認(rèn)可。直到今天在美國(guó)很多出色的數(shù)學(xué)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)跟前蘇聯(lián)那套體系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。

　　俄羅斯數(shù)學(xué)的低谷

　　冷戰(zhàn)以蘇聯(lián)解體告終，大量的蘇聯(lián)科學(xué)家流失到了美國(guó)和歐洲。少量的科學(xué)家流落到中國(guó)。在我比較熟悉的領(lǐng)域中，SVM 支撐矢量機(jī)之父，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的提出者 Vapnik 就是從前蘇聯(lián)流落出來(lái)的科學(xué)家。他一個(gè)人推動(dòng)了一個(gè)領(lǐng)域往前走了很多年。而他的理論據(jù)說(shuō)在 60 年代就已經(jīng)成熟了，只是躺在了前蘇聯(lián)的保險(xiǎn)箱里。

　　今天的俄羅斯數(shù)學(xué)已經(jīng)大不如前，很多時(shí)候還是吃老本。彼得大帝創(chuàng)建的俄羅斯科學(xué)院因?yàn)榻?jīng)費(fèi)問(wèn)題前幾年還搞出大裁員。

俄羅斯的下坡路還要走很久

　　結(jié)語(yǔ)

　　俄羅斯三百年從一個(gè)蒙昧的國(guó)家崛起成為一個(gè)超級(jí)大國(guó)，又從一個(gè)超級(jí)大國(guó)跌落成二流地區(qū)強(qiáng)國(guó)。俄羅斯的數(shù)學(xué)也經(jīng)歷里起起落落。我不可能在一篇文章中把俄羅斯的大神們都介紹一遍，我只能從很大的尺度上介紹一下代表性大牛們的故事。（朗道我還沒(méi)有來(lái)得及去講，馬爾可夫也就一筆帶過(guò)了）

　　無(wú)論是哥廷根派還是蘇俄派（圣彼得堡/莫斯科）基礎(chǔ)科學(xué)從落后到獨(dú)步全球都經(jīng)歷了幾十年甚至上百年的過(guò)程，經(jīng)歷了一代人又一代人的傳承和發(fā)展，沒(méi)有急功近利，只是一步步先填坑，然后再交流，然后引發(fā)新的火花，開(kāi)創(chuàng)新的領(lǐng)域，推動(dòng)科技的發(fā)展。

　　前人的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于處于追趕過(guò)程的國(guó)家來(lái)講，依然有著十分重要的借鑒意義。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的兴衰成败三百年：俄罗斯数学的光荣与梦想的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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