一個n連桿的機(jī)器人的動力學(xué)方程含有很多項(xiàng)，特別是全部是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，讓人看著害怕。但是，機(jī)器人動力學(xué)方程含有一些有助于開發(fā)控制算法的重要性質(zhì)，其中最重要的是反對稱性、無源性、有界性和參數(shù)的線性性。

反對稱性（skew aymmetry）和無源性(passivity)

• 在動力學(xué)方程中，矩陣N=D˙?2C 是反對稱性的，即 nij=?nji
  由于存在多個矩陣C, 這里C存特定值：
  

  cijk=12(?bij?qk+?bik?qj??bjk?qi)
  ∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(?bij?qk?12?bjk?qi)q˙(k)q˙(j)

  由于 D˙(q) 的第 (k,j) 個元素 d˙kj=∑ni=1?dkj?qiq˙i

  矩陣N=D˙?2C 的第 (k,j)個元素可以表示為：
  

  nkj=d˙kj?2ckj=∑i=1n[?dij?qk??dki?qj]
  可以看出：
  nij=?nji
  因此，矩陣 N 是反對稱矩陣。對任意向量 ω , 有 ωTN(q，q˙)ω=0
  • 無源性
    機(jī)器人的總動能：H=12q˙TD(q)q˙+P(q)，求導(dǎo)，得：
    H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T?P?q
    忽略摩擦和末端受力，帶入動力學(xué)方程，可得，
    H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
    在公式兩邊同時對時間積分，得：
    q˙T(t)τ(t)dt=H(T)?H(0)≥?H(0)

  慣性矩陣的界限(bounded)

  對 n 連桿機(jī)器人，他的慣性矩陣是正定且對稱的，對廣義關(guān)節(jié)變量 q， 令0<λ1(q)≠?≠λn(q) 表示D(q) 的 n 個特征值。
  顯然易得：
  λ1(q)In?n≤D(q)≤λn(q)In?n
  如果所有的關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，那么慣性矩陣都是關(guān)于關(guān)節(jié)變量的正弦和余弦函數(shù)，因此對應(yīng)的廣義坐標(biāo)是有界的。如果慣性矩陣具有一致的界限，可以找到常數(shù) λm 和 λM，滿足：
  

  λ1(q)In?n≤D(q)≤λn(q)In?n<∝

  參數(shù)的線性化(linearity-in-the-parameter)

  存在 n?? 函數(shù) Y(q,q˙,q¨)，以及 ? 維向量 Θ，使得歐拉方程可以寫成：

  D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ
  函數(shù) Y(q,q˙,q¨)被稱為回歸方程（regeessor）, 向量 Θ 為參數(shù)向量。

  對每一個剛體，可以通過 總質(zhì)量、慣性張量、質(zhì)心來表示，總十個獨(dú)立的參數(shù)，因此，對于一個n連桿機(jī)器人來說，最多有10n個參數(shù)，因?yàn)槎嚓P(guān)節(jié)機(jī)器人各連桿通過耦合連接在一起，實(shí)際的參數(shù)少于10n
  事實(shí)上，尋找這樣的方程是比較困難的。

  總結(jié)

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