貝塞爾曲線生成方法:

一、The de Casteljau Algorithm

貝塞爾曲線 n+1 個控制點 b0,b1,?,bn，t∈[0,1], 那么：

{B(t)=bn0bji=bj?1i(1?t)+bj?1i+1tb0i=bii=0,?,n?j,j=1,?,n

---

1、線性曲線

2、二次曲線

3、三次曲線

4、四次曲線

5、五次曲線

6、例子

三次貝塞爾曲線的控制點為：b0(1.0,1.0),b1(2.0,7.0),b2(8.0,6.0),b3(12.0,2.0)，其點B(0.25) 求法如下：

b10=34(1.0,1.0)+14(2.0,7.0)=(1.25,2.5)
b11=34(2.0,7.0)+14(8.0,6.0)=(3.5,6.75)
b12=34(8.0,6.0)+14(12.0,2.0)=(9.0,5.0)
b20=34(1.25,2.5)+14(3.5,6.75)=(1.8125,3.5625)
…

算法流程如下：

圖形表示如下：

二、任意多項式曲線與貝塞爾曲線的轉換

貝塞爾曲線展開:

B(t)=b0(1?t)n+C1n(1?t)n?1t+C2n(1?t)n?2t2+?+Cn?1n(1?t)1tn?1+tn=TBezb

一般多項式：

P(t)=a0+a1t+?+antn=Ta

定義一下參數：

a=(a0,a1,?,an)T,b=(b0,b1,?,bn)T

B=(B0,n(t),?,Bn,n(t)),T=(1,t,…,n)

Bez=(Bezi,j),Bez?1=(Bez?1i,j),0≤i,j≤n

1、貝塞爾曲線 -> 多項式曲線

表示方法是：

a=Bez?b

把貝塞爾曲線按照參數 t 升冪排列，皆可以得到其對應的多項式曲線。

Bezi,j={(?1)i?jCinCji,0,ifi≥jotherwise

也就是：

ai=∑j=0i(?1)i?jCinCjibj

2、多項式曲線 ->貝塞爾曲線

表示方法是：

b=Bez?1?a

Bez(?1)i,j=???CjiCjn,0,ifj≤iotherwise

也就是：

bi=∑j=0iCjiCjnaj

3、參考

[1]:https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull [2]:Duncan M. Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. Springer, 2005.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的再论贝塞尔曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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