? 3D點(diǎn)A=(Xa,Ya,Za)繞軸N=(Nx,Ny,Nz)旋轉(zhuǎn)θ角度。將點(diǎn)A擴(kuò)展到四元數(shù)空間，則A=(0,Xa,Ya,Za)，此時(shí)A點(diǎn)純四元數(shù)（即第一位W分量等于0），處于四維空間中的一個(gè)超三維平面上。就像我們所處的三維空間中存在的二維平面一樣，三維空間中的點(diǎn)坐標(biāo)是(X,Y,Z)，而二維平面中的點(diǎn)坐標(biāo)則可以表示為(0,X,Y)；所以，當(dāng)一個(gè)四維空間中的點(diǎn)(W,X,Y,Z)中的W=0時(shí)，則認(rèn)為此點(diǎn)處于四維空間的超三維平面上。

?用于旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)一般都是單位四元數(shù)（即歸一化，模=1），第一是四元數(shù)用于旋轉(zhuǎn)并不關(guān)心模長(zhǎng)，模等于1可能需要的計(jì)算；第二是非單位四元數(shù)在浮點(diǎn)計(jì)算上可能會(huì)因?yàn)榫仍斐烧`差。因此在使用四元數(shù)時(shí)應(yīng)盡量先進(jìn)行歸一化，使其成為單位四元數(shù)。

接下來(lái)，當(dāng)A點(diǎn)繞軸N旋轉(zhuǎn)θ角度，用于旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)P(cosθ/2,sinθ/2N)以及P的共軛$P^*$(cosθ,-sinθN)（因?yàn)槭荘是單位四元數(shù)，所以共軛$P^*$和逆$P^{-1}$是相等的）$A^/$為旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)公式為$A^/$=PA$P^{-1}$。這個(gè)公式書中都有提到，具體由來(lái)請(qǐng)先看屬。下面我將解釋一下我理解中的這個(gè)公式

第一：四元數(shù)性質(zhì)：四元數(shù)P乘以$P^{-1}$等于1，可以保證被旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)A不會(huì)被改變。

第二：當(dāng)一個(gè)純四元數(shù)乘以一個(gè)單位四元數(shù)后，結(jié)果不再是純四元數(shù)，點(diǎn)A乘以P，此時(shí)點(diǎn)A已經(jīng)被變換到了四維空間中，而不在處于三維平面內(nèi)。當(dāng)再次乘以$P^{-1}$時(shí)，因?yàn)樗脑獢?shù)P乘以$P^{-1}$等于1，所以保證了點(diǎn)A依舊處于三維平面，此時(shí)解釋了為什么要乘以P和$P^{-1}$。

因?yàn)槭菃挝凰脑獢?shù)，共軛和逆相等，點(diǎn)A乘以P是繞軸N正方向旋轉(zhuǎn)θ/2角度，此時(shí)點(diǎn)A被旋轉(zhuǎn)到了四維空間，而不處于三維平面。乘以$P^{-1}$（逆和共軛相等）則等于乘以共軛，而共軛表示繞和P反方向旋轉(zhuǎn)θ/2角度，此時(shí)點(diǎn)A再次被旋轉(zhuǎn)回三維平面。點(diǎn)A相當(dāng)于經(jīng)歷了2次旋轉(zhuǎn)，每次都是θ/2，于是總共旋轉(zhuǎn)了θ角度，此時(shí)解釋了為什么是θ/2。

至此便是我對(duì)旋轉(zhuǎn)四元數(shù)中的理解。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于使用旋转四元数绕轴旋转θ角度时，使用参数是θ/2的理解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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