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• 一、相關函數應用場景

一、相關函數應用場景

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求下面信號的 " 自相關函數 " :

$$x(n)=\sin (2\pi fn)+N(n)$$

其中 $N(n)$ 為 高斯白噪聲 ;

高斯白噪聲 符合 正態分布 特性 , 其 均值為 $0$ , 方差為 $1$ , 其功率譜密度是白的 , 在所有的頻率上 , 其功率都相同 ;

令

$$s(n)=\sin (2\pi fn)$$

則有

$$x(n)=s(n)+N(n)$$

自相關函數 公式為 :

$$r_x(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)x(n+m)$$

代入 $x(n)=s(n)+N(n)$ , 求該信號的自相關函數 , 由于都是 實型號 , 不存在共軛 , 式子變為 :

$$r_x(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }[s(n)+N(n)][s(n+m)+N(n+m)]$$

展開式子 :

$$r_x(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }[s(n)s(n+m)+N(n)s(n+m)+s(n)N(n+m)+N(n)N(n+m)]$$

進一步將加和符號展開 :

$$r_x(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }s(n)s(n+m)+\sum _{n=?\infty }^{+\infty }N(n)s(n+m)+\sum _{n=?\infty }^{+\infty }s(n)N(n+m)+\sum _{n=?\infty }^{+\infty }N(n)N(n+m)$$

其中 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }s(n)s(n+m)=r_s(m)$$

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }N(n)s(n+m)=r_{Ns}(m)$$

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }s(n)N(n+m)=r_{sN}(m)$$

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }N(n)N(n+m)=r_N(m)$$

最終得到結果 :

$$r_x(m)=r_s(m)+r_{Ns}(m)+r_{sN}(m)+r_N(m)$$

$r_{Ns}(m)\approx 0$ , $r_{sN}(m)\approx 0$ , $r_N(m)=白噪聲方差$ ;

因此有 $r_x(m)=r_s(m)+r_N(m)$ ;

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由于 高斯白噪聲是隨機的 ,

噪聲信號 是 功率信號 , 在 $m=0$ 時 , 是完全相關的 , 相關函數值就是功率值 ,

但是只要 $m$ 不為 $0$ , 噪聲信號錯開了一點 , 那就是完全不相關了 ,

自相關函數 與 功率譜密度 是一對 傅里葉變換對 , 如果自相關函數具備該特點 ,

在 $m=0$ 時 , 相當于 $\delta (n)$ 信號 , $\delta (n)$ 信號的傅里葉變換為 $1$ , 其在所有的頻率上其 功率密度函數 都是 $1$ , 在所有的頻率上都是有功率分布的 ;

在噪聲中檢測信號 ,

$r_N(m)$ 只有在 $m=0$ 時有值 ,

一旦 $m$ 增加或減小 ( 絕對值增加 ) , 該 $r_N(m)$ 值會趨于 $0$ ,

剩下的那個就可以檢測出來了 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】相关函数应用 ( 相关函数应用场景 | 噪声中检测信号原理 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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