來(lái)源：Quanta Magazine，編譯張二七

　　“老媽，我褲子上破了幾個(gè)洞，幫我縫一下吧！”

　　“沒問題，多大的洞啊？”

　　“洞的形狀都挺怪的，不過任意兩點(diǎn)的距離都不超過 1 厘米。”

　　媽媽翻出了一些碎布頭，形狀都是直徑 1 厘米的圓形，她認(rèn)為這樣應(yīng)該就足夠補(bǔ)上各種形狀的洞了。不過真的是這樣嗎？想要蓋住形狀各異，但最寬不超過 1 厘米的破洞，直徑 1 厘米的圓形補(bǔ)丁真的夠用嗎？

　　圓形的“補(bǔ)丁”

　　讓我們假設(shè)你的褲子上破了一個(gè)三角形的洞，這是一個(gè)邊長(zhǎng) 1 厘米的等邊三角形——因此三角形中任意兩點(diǎn)間的距離都不會(huì)超過 1 厘米，符合我們?cè)陂_頭對(duì)洞的要求。但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)，直徑 1 厘米的圓形補(bǔ)丁并不能完全蓋住這個(gè)洞。

直徑 1 厘米的圓形并不能完全覆蓋邊長(zhǎng)為 1 厘米的等邊三角形。（若無(wú)特殊標(biāo)注，本文圖片均來(lái)自 Quanta Magazine）

　　經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，你就能理解這個(gè)道理。圓的半徑是 0.5 厘米，但等邊三角形中心到頂點(diǎn)的距離是√3/3 ≈0.58 厘米——大于圓的半徑，這個(gè)圓當(dāng)然就無(wú)法覆蓋到三角形的頂角了。

　　當(dāng)然了，最保險(xiǎn)的方法就是準(zhǔn)備一大塊布，這樣什么洞都能補(bǔ)上了，就是有些浪費(fèi)。那么問題來(lái)了：能不能找到面積最小的一塊布，讓它能夠補(bǔ)上任意形狀的，寬不超過 1 厘米的洞呢？

　　萬(wàn)有覆蓋問題

　　在數(shù)學(xué)中，這被稱為“萬(wàn)有覆蓋問題”（universal covering problem）。這個(gè)問題是亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）在 1914 年寫給另一位數(shù)學(xué)家朱利葉斯·帕爾（Julius Pál）的一封信中提出的。這個(gè)問題的說(shuō)法有很多種，但它們的核心都是寬度為1，也就是在平面上有一個(gè)圖形，圖形中任意兩點(diǎn)間的距離都不超過1。勒貝格的萬(wàn)有覆蓋問題，就是要求找到一個(gè)面積最小的圖形，使其能夠“覆蓋”所有寬度為 1 的圖形。

　　這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題其實(shí)已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)家們一百多年，甚至到了現(xiàn)在，他們依然沒有找到最終答案。如果只要求能夠覆蓋所有寬度為 1 的洞，那么我們有很多的選擇，但要找出面積最小的那個(gè)就很困難了。

　　為了討論這個(gè)問題，讓我們先假想出任意一個(gè)寬度為 1 的形狀R，雖然不知道它長(zhǎng)什么樣子，但其中一定存在相距 1 單位長(zhǎng)度的兩個(gè)點(diǎn)，我們稱之為A點(diǎn)和B點(diǎn)。

　　那么現(xiàn)在想象形狀R中的第三個(gè)點(diǎn)C，C可能存在于哪些區(qū)域呢？首先，C點(diǎn)到A點(diǎn)的距離一定不能超過1。也就是說(shuō)，我們以A為圓心，1 單位長(zhǎng)度為半徑畫一個(gè)圓A，C點(diǎn)一定在這個(gè)圓內(nèi)（或圓周上）。

　　同樣的，C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離也不能超過 1 單位長(zhǎng)度，那么我們以B點(diǎn)為圓心，1 為半徑作圓B的話，C點(diǎn)也應(yīng)該在這個(gè)圓的范圍內(nèi)。

　　由于C點(diǎn)應(yīng)該既在圓A中，也在圓B中，那么C點(diǎn)就應(yīng)該落于兩圓的重合區(qū)，也就是下圖這個(gè)“橄欖球”形狀中。

　　不止C點(diǎn)，形狀R中的其他點(diǎn)也需要滿足相同的條件，因此形狀R中的所有點(diǎn)都應(yīng)落在上圖的“橄欖球”中。換句話說(shuō)，這個(gè)形狀能夠覆蓋所有可能的形狀R，那么它就是一個(gè)“萬(wàn)有覆蓋”圖形。

　　不過這塊“橄欖球”布料還是太大了，讓我們?cè)囍舻粢徊糠帧?/p>

　　首先，添加兩條與線段 AB 平行的直線（如下圖），使其與 AB 的距離均為1/2，因此這兩條直線間的距離就是 1 單位長(zhǎng)度。

　　現(xiàn)在我們得到了這樣的兩塊紅色區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，它們之間的最短距離為1。或者說(shuō)，Ⅰ中的任意一點(diǎn)，與Ⅱ中的任意一點(diǎn)的距離一定大于1。

　　想象一下，如果形狀R包含了Ⅰ區(qū)域中的某些點(diǎn)，那么這些點(diǎn)到Ⅱ區(qū)域中任意一點(diǎn)的距離一定會(huì)大于1，這就違背了我們對(duì)形狀R的要求。也就是說(shuō)，此時(shí)的形狀R一定不能與Ⅱ區(qū)域重疊。因此，在Ⅰ和Ⅱ區(qū)域中，我們就可以剪掉一個(gè)了。這樣得到的“美妝蛋”一樣的形狀，依然是一個(gè)萬(wàn)有覆蓋圖形。

　　在裁剪之前，我們用到的“布料”面積是2π/3-√3/2≈ 1.228，而剪完后，“布料”的面積變成了π/2-1/2 ≈ 1.071。請(qǐng)記住我們得到這個(gè)“美妝蛋”的過程——從最容易想到的圖形出發(fā)，通過不斷裁剪多余的部分，我們就能獲得面積更小的萬(wàn)有覆蓋圖形。

　　這也正是數(shù)學(xué)家們探索面積最小的萬(wàn)有覆蓋圖形的方法，不過他們是從六邊形開始的。

　　“帕爾六邊形”

　　還記得勒貝格的那位數(shù)學(xué)家朋友帕爾嗎？在收到勒貝格的來(lái)信后不久，帕爾就利用等寬曲線的性質(zhì)證明，對(duì)邊相距為 1 的正六邊形就能做到萬(wàn)有覆蓋（等寬曲線是指曲線上任何一對(duì)平行切線的距離都相等的曲線，圓就是最常見的一種等寬曲線）。

　　“帕爾六邊形”的面積比我們的“美妝蛋“更小了，其面積為√3/2≈0. 866。不過，帕爾并不滿足于此，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)六邊形還能再剪掉幾個(gè)角。

　　我們知道，正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱角是 60°。那么將另一個(gè)六邊形繞中心旋轉(zhuǎn) 30°，再疊在原先的六邊形上，我們就能給原先的六邊形切出六個(gè)角，對(duì)應(yīng)下圖中的紅色區(qū)域。

　　還記得我們是如何將“橄欖球”剪掉一個(gè)角，變成“美妝蛋”的嗎？接下來(lái)的步驟和我們之前的裁剪過程非常相似。

　　首先，每一組相對(duì)的小三角間的距離都是 1 單位長(zhǎng)度，因此每一對(duì)紅色三角中都有一個(gè)可以被裁去。我們當(dāng)然希望能夠剪掉三個(gè)——也就是每對(duì)中的一個(gè)。然而，如果真的剪掉三個(gè)角的話，這個(gè)圖形就無(wú)法滿足萬(wàn)有覆蓋條件了。

　　根據(jù)六邊形的對(duì)稱性，如果某個(gè)圖形占據(jù)了六個(gè)小三角中的三個(gè)時(shí)，它可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況：連續(xù)的三個(gè)角（左圖），或是相間的三個(gè)角（右圖）。我們?cè)趫D里用藍(lán)色和紅色來(lái)表示這兩種情況。

　　如果我們的形狀R占用了左圖中的三個(gè)藍(lán)色三角區(qū)域，那么我們就無(wú)法在剪掉右側(cè)圖形中的三個(gè)紅色三角的情況下，將其覆蓋。反之也是一樣，如果我們剪掉了左側(cè)圖形中的三個(gè)紅色三角，那么當(dāng)形狀R占據(jù)了右圖中藍(lán)色區(qū)域的三個(gè)三角時(shí)，新的圖形也無(wú)法將R覆蓋了。

　　不過就算不能同時(shí)修剪掉三個(gè)角，我們至少可以裁掉兩個(gè)。如果我們剪掉既不相鄰也不相對(duì)的兩個(gè)紅色三角形區(qū)域的話，就不會(huì)出現(xiàn)上述的問題了，而這就是帕爾所做的。

　　帕爾剪掉了六邊形的兩個(gè)角，這樣得到的新圖形仍然能夠覆蓋所有寬度為 1 的形狀。這個(gè)新圖形的面積是2-2√3/3≈0. 8453，比帕爾六邊形的面積減少了約 0.0207。

　　不斷地修剪

　　接下來(lái)的修剪工作就愈發(fā)艱難了。在帕爾的工作基礎(chǔ)上，1936 年，數(shù)學(xué)家羅蘭·斯普拉格（Roland Sprague）移除了面積為0. 001的一塊小碎片。隨后，在 1992 年，H·C·漢森（H. C. Hansen）從右下角和左下角裁去了0. 00000000004個(gè)平方單位的面積（小數(shù)點(diǎn)后 10 個(gè)0，不用數(shù)了）。

　　2014 年，一位本職是軟件工程師的業(yè)余數(shù)學(xué)家（雖然說(shuō)是業(yè)余，但是人家也有數(shù)學(xué)的博士學(xué)位）菲利普·吉布斯（PhilipGibbs）選擇了一種簡(jiǎn)單粗暴的解答思路——先看答案，再想過程。他用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成了 200 個(gè)寬度為 1 的圖形，把他們疊到一起，然后以其覆蓋的形狀為線索，找出了對(duì)過去萬(wàn)有覆蓋圖形的頂部的修整方法。他的證明于 2015 年發(fā)表，該論文將此前的萬(wàn)有覆蓋圖形再次縮小了 0.0000224 平方單位。

菲利普·吉布斯與帕爾六邊形（圖片來(lái)源：Philip Gibbs）

　　這項(xiàng)成果給了吉布斯很大的信心，在他 2018 年發(fā)表的另一篇文章中，他又剪掉了“一大塊”區(qū)域，使萬(wàn)有覆蓋面積從 0.8441153 降到了0. 84409359 平方單位。

灰色的部分是吉布斯裁剪的角（圖片來(lái)源：Philip Gibbs）

　　從 1914 年至今，數(shù)學(xué)家們一直在尋找最小的萬(wàn)有覆蓋圖形，他們能走多遠(yuǎn)呢？2005 年，彼得·布拉斯（Peter Brass）和梅爾博德·沙里夫（Mehrbod Sharifi）證明，萬(wàn)有覆蓋面積不能小于 0.832 平方單位。因此我們知道，留給數(shù)學(xué)家裁剪的區(qū)域已經(jīng)不多了。

　　不過大家也可以試著提出一種新技術(shù)，又或是裁剪的新起點(diǎn)，或許你也能像那位業(yè)余數(shù)學(xué)家一樣，更加逼近最小的萬(wàn)有覆蓋圖形。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学家们纠结一百多年的难题：这条裤子该怎么补？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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