目錄

• 線性回歸——最小二乘
• Lasso回歸和嶺回歸
• 為什么 lasso 更容易使部分權(quán)重變?yōu)?0 而 ridge 不行？
• References

線性回歸很簡單，用線性函數(shù)擬合數(shù)據(jù)，用 mean square error (mse) 計算損失（cost），然后用梯度下降法找到一組使 mse 最小的權(quán)重。

lasso 回歸和嶺回歸（ridge regression）其實就是在標準線性回歸的基礎(chǔ)上分別加入 L1 和 L2 正則化（regularization）。

本文的重點是解釋為什么 L1 正則化會比 L2 正則化讓線性回歸的權(quán)重更加稀疏，即使得線性回歸中很多權(quán)重為 0，而不是接近 0?；蛘哒f，為什么 L1 正則化（lasso）可以進行 feature selection，而 L2 正則化（ridge）不行。

線性回歸——最小二乘

線性回歸（linear regression），就是用線性函數(shù) \(f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b\) 去擬合一組數(shù)據(jù) \(D = \{(\bm x_1, y_1), (\bm x_2, y_2), ..., (\bm x_n, y_n)\}\) 并使得損失 \(J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2\) 最小。線性回歸的目標就是找到一組 \((\bm w^*, b^*)\)，使得損失 \(J\) 最小。

線性回歸的擬合函數(shù)（或 hypothesis）為：
\[ f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b \tag{1} \]

cost function (mse) 為：
\[ \begin{split} J &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 \\ & = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2 \end{split} \tag{2} \]

Lasso回歸和嶺回歸

Lasso 回歸和嶺回歸（ridge regression）都是在標準線性回歸的基礎(chǔ)上修改 cost function，即修改式（2），其它地方不變。

Lasso 的全稱為 least absolute shrinkage and selection operator，又譯最小絕對值收斂和選擇算子、套索算法。

Lasso 回歸對式（2）加入 L1 正則化，其 cost function 如下：
\[ J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1 \tag{3} \]

嶺回歸對式（2）加入 L2 正則化，其 cost function 如下：
\[ J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_2^2 \tag{4} \]

Lasso回歸和嶺回歸的同和異：

• 相同：
  • 都可以用來解決標準線性回歸的過擬合問題。
• 不同：
  • lasso 可以用來做 feature selection，而 ridge 不行?；蛘哒f，lasso 更容易使得權(quán)重變?yōu)?0，而 ridge 更容易使得權(quán)重接近 0。
  • 從貝葉斯角度看，lasso（L1 正則）等價于參數(shù) \(\bm w\) 的先驗概率分布滿足拉普拉斯分布，而 ridge（L2 正則）等價于參數(shù) \(\bm w\) 的先驗概率分布滿足高斯分布。具體參考博客 從貝葉斯角度深入理解正則化 -- Zxdon 。

也許會有個疑問，線性回歸還會有過擬合問題？

加入 L1 或 L2 正則化，讓權(quán)值盡可能小，最后構(gòu)造一個所有參數(shù)都比較小的模型。因為一般認為參數(shù)值小的模型比較簡單，能適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)集，也在一定程度上避免了過擬合現(xiàn)象。

可以設(shè)想一下對于一個線性回歸方程，若參數(shù)很大，那么只要數(shù)據(jù)偏移一點點，就會對結(jié)果造成很大的影響；但如果參數(shù)足夠小，數(shù)據(jù)偏移得多一點也不會對結(jié)果造成什幺影響，一種流行的說法是『抗擾動能力強』。具體參見博客 淺議過擬合現(xiàn)象(overfitting)以及正則化技術(shù)原理。

為什么 lasso 更容易使部分權(quán)重變?yōu)?0 而 ridge 不行？

lasso 和 ridge regression 的目標都是 \(\min_{\bm w, b} J\)，式（3）和（4）都是拉格朗日形式（with KKT條件），其中 \(\lambda\) 為 KKT 乘子，我們也可以將 \(\min_{\bm w, b} J\) 寫成如下形式：

• lasso regression:
  \[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_1 \le t} \end{array} \tag{5} \]

• ridge regression:
  \[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_2^2 \le t} \end{array} \tag{6} \]

式（5）和（6）可以理解為，在 \(\bm w\) 限制的取值范圍內(nèi)，找一個點 \(\hat{\bm w}\) 使得 mean square error 最小，\(t\) 可以理解為正則化的力度，式（5）和（6）中的 \(t\) 越小，就意味著式（3）和（4）中 \(\lambda\) 越大，正則化的力度越大 。

以 \(\bm x \in R^2\) 為例，式（5）中對 \(\bm w\) 的限制空間是方形，而式（6）中對 \(\bm w\) 的限制空間是圓形。因為 lasso 對 \(\bm w\) 的限制空間是有棱角的，因此 \(\arg \min_{w, b} {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的解更容易切在 \(\bm w\) 的某一個維為 0 的點。如下圖所示：

Fig.1[1] Lasso (left) and ridge (right) regression.

Fig. 1 中的坐標系表示 \(\bm w\) 的兩維，一圈又一圈的橢圓表示函數(shù) \(J = {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的等高線，橢圓越往外，\(J\) 的值越大，\(\bm w^*\) 表示使得損失 \(J\) 取得全局最優(yōu)的值。使用 Gradient descent，也就是讓 \(\bm w\) 向著 \(\bm w^*\) 的位置走。如果沒有 L1 或者 L2 正則化約束，\(\bm w^*\) 是可以被取到的。但是，由于有了約束 \(\|w\|_1 \le t\) 或 \(\|w\|_2^2 \le t\)，\(\bm w\) 的取值只能限制在 Fig. 1 所示的灰色方形和圓形區(qū)域。當然調(diào)整 \(t\) 的值，我么能夠擴大這兩個區(qū)域。

等高線從低到高第一次和 \(\bm w\) 的取值范圍相切的點，即是 lasso 和 ridge 回歸想要找的權(quán)重 \(\hat{\bm w}\)。

lasso 限制了 \(\bm w\) 的取值范圍為有棱角的方形，而 ridge 限制了 \(\bm w\) 的取值范圍為圓形，等高線和方形區(qū)域的切點更有可能在坐標軸上，而等高線和圓形區(qū)域的切點在坐標軸上的概率很小。這就是為什么 lasso（L1 正則化）更容易使得部分權(quán)重取 0，使權(quán)重變稀疏；而 ridge（L2 正則化）只能使權(quán)重接近 0，很少等于 0。

正是由于 lasso 容易使得部分權(quán)重取 0，所以可以用其做 feature selection，lasso 的名字就指出了它是一個 selection operator。權(quán)重為 0 的 feature 對回歸問題沒有貢獻，直接去掉權(quán)重為 0 的 feature，模型的輸出值不變。

對于 ridge regression 進行 feature selection，你說它完全不可以吧也不是，weight 趨近于 0 的 feature 不要了不也可以，但是對模型的效果還是有損傷的，這個前提還得是 feature 進行了歸一化。

References

[1] Tibshirani, R. (1996). Regression Shrinkage and Selection Via the Lasso. Journal Of The Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 58(1), 267-288. doi: 10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x
[2] Lasso算法 -- 維基百科
[3] 機器學習總結(jié)(一)：線性回歸、嶺回歸、Lasso回歸 -- 她說巷尾的櫻花開了
[4] 從貝葉斯角度深入理解正則化 -- Zxdon
[5] 淺議過擬合現(xiàn)象(overfitting)以及正則化技術(shù)原理 -- 閃念基因

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wuliytTaotao/p/10837533.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性回归——lasso回归和岭回归（ridge regression）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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