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1 概率是什么

概率是表示某種情況（事件）出現的可能性大小的一種數量指標，它介于0與1之間。

1.1 主觀概率

憑著經驗和知識對事件發生的可能性作出的一種主觀估計，主觀概率可以理解為一種心態或傾向性。

這里的某種事件后面即定義為隨機事件，所謂“隨機事件”，即它的結果具有偶然性。

1.2 古典概率的定義

假定某個試驗有有限個可能的結果e1,e2,…,eN。假定從該試驗的條件及實施方法去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果，例如ei，比任一其他結果，例如ej，更具有優勢（即更傾向于易發生），則我們只好認為，所有結果e1,e2,…,eN在試驗中有同等可能的出現機會，即1/N的出現機會。常常把這樣的試驗結果稱為“等可能的”。

設一個試驗有N個等可能的結果，而事件E恰包含中的M個結果，則事件E的概率，記為P(E)，定義為：

P(E)=M/N

上面的古典定義它只能用于全部試驗結果為有限個，且等可能性成立的情況，某些情況下，這個概念可以引申到試驗結果有無限多的情況。

古典概率的核心實際上就是"數數"，首先數樣本空間中基本事件的個數N，再數事件A包含的基本事件個數M

1.3 幾何概率

甲、乙二人約定1點到2點之間在某處碰頭，約定先到者等候10分鐘即離去。設想甲、乙二人各自隨意地在1-2點之間選一個時刻到達該處，問“甲乙二人能碰上”這事件E的概率是多少？

如果我們以一個坐標系來代表所有事件發生的平面，則x軸代表甲出發的時刻，y軸代表乙出發的時刻，如果甲乙能碰上則必須滿足：

|x?y|<10

可以計算在坐標軸平面上，滿足上面不等式的區域的面積。

幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率。

1.4 概率的頻率定義方法

1）與考察事件A有關的隨機現像可大量重復進行

2）在n次重復試驗中，記n(A)為事件A出現的次數，又稱n(A)為事件A的頻數。稱fn(A)=n(A)n為事件A出現的頻率。

3）人們的長期實踐表明：隨著試驗重復次數n的增加，頻率fn(A)會穩定在某一常數a附近，我們稱這個常數為頻率的穩定值。這個頻率的穩定值就是我們所求的概率。

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2 古典概率的計算

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2.1 兩個原理

1）乘法原理

如果某件事需經過k個步驟才能完成，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法……做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1×m2×?×mk種方法。

2）加法原理

如果某件事可由k類不同途徑之一去完成，在第一類途徑中有m1種完成的方法，在第二類途徑中有m2種完成的方法……在第k類途徑中有mk種完成的方法，那么完成這件事共有m1+m2+?+mk種方法。

2.2 排列與組合

按照古典概率公式的定義，古典概率的計算歸結為計算兩個數M和N。這種計算大多數涉及排列組合。二者的區別在于，排列要計較次序而組合不計較：ab和ba是不同的排列，但是是相同的組合。

排列：n個相異物件取r個(1≤r≤n)的不同排列總數為

Pnr=n(n?1)(n?2)…(n?r+1)

特別地，當n=r時，得到Prr=r(r?1)…1=r!，稱為r的一個全排列。

組合：n個相異物件取r個(1≤r≤n)的不同組合總數為

Cnr=Pnr/r!=n!/(r!(n?r)!)

有些書中把記號Cnr寫為Crn。Cnr的一個更通用的記號是(nr)。我們后面將用(nr)取代Cnr。我們很容易推導出(n0)=1且有，

(nr)=n(n?1)…(n?r+1)/r!

2.3 與二項式展開的關系

組合系數(nr)又常稱為二項式系數，因為它出現在下面熟知的二項式展開的公式中：

(a+b)n=∑i=0n(nr)aibn?i

這面這個公式的證明很簡單：因為，(a+b)n=(a+b)(a+b)…(a+b).為了產生aibn?i這一項，在這n個(a+b)中，要從其中的i個取出a，另n?i個取出b。從n個中取出i個的不同取法為(nr)，這也就是aibn?i這一項的系數。

2.4 分堆問題

n個相異物件分成k堆，各堆物體數分別為r1,r2,…,rk的分法是

n!r1!…rk!

此處r1,r2,…,rk都是非負整數，其和為n

舉個例子：共有n雙各異的鞋子一共2n只，把它們隨機分為n堆，每堆2只，求恰好每堆鞋子組成一雙的概率：

先求所有可能的分法，按上面的公式，可以得出一共有(2n)!/2n種分法，而如果把每一雙鞋子看成一個物體，則n個物體的全排列為n!種，所以最終的概率為2nn!(2n)!

古典概率的計算基本都涉及到排列組合問題，這類問題可能情況很復雜，設計的很難，所以不用花太多時間在古典概率的計算上。

3 事件的運算

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3.1 事件的蘊含、包含及相等

在同一試驗下的兩事件A和B，如果當A發生時B必發生，則稱A蘊含B，或者說B包含A，記為A?B。若A,B互相蘊含，即A?B且B?A，則稱A,B兩事件相等，記為A=B。

如下圖中所示，方框如果是一個靶，則如果擊中了A，則一定擊中了B。A和B相比A更難發生一些，因而其概率就必然小于至多等于B的概率。

3.2 事件的互斥和對立

若兩件事A和B不能在同一次試驗中都發生（但可以都不發生），則稱它們是互斥的。如果一些事件中任意兩個都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的，或簡稱互斥的。

任何一個樣本空間，它的基本事件之間都是彼此互斥的。值得注意的事，互斥事件一定是在同一個試驗下的，可能出現的不同的結果。這兩個事件是對這個試驗結果不同可能性的描述。

如擲一個骰子時，擲出1點和擲出2點這兩個事件就是互斥的，它兩不可能同時發生，但可以都不發生。

互斥事件一個重要的情況是“對立事件”，若A為一事件，則事件B={A不發生}稱為A的對立事件，多記為Aˉ（也記為Ac）。

如擲一個骰子時，擲出是奇數點與擲出是偶數點就是對立事件。

這里注意區分對立事件與互斥事件！

3.3 事件的和

設有兩事件A，B，定義一個新事件C如下：

C={A發生，或B發生}={A,B至少發生一個}

這樣定義的事件C稱為A與事件B的和，記為C=A+B。

推廣到多個事件的情形，設有若干個事件A1,A2,…,An。它們的和A，定義為事件

A={A1發生，或A2發生，?，或An發生}={A1,A2,…,An至少發生一個}

3.4 概率的加法定理

公理

若干個互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和：

P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+…

推論

以Aˉ表示A的對立事件，則

P(Aˉ)=1?P(A)

3.5 事件的積、事件的差

設有兩件事A，B，則如下定義的事件C

C={A,B都發生}

多個事件A1,A2,…（有限或無限個都可以）的積的定義類似：A={A1,A2,?都發生}，記為A=A1A2…，或∏ni=1Ai

兩個事件A,B之差，記為A?B，定義為：

A?B={A發生，B不發生}=ABˉ

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4 條件概率與獨立性

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4.1 條件概率的定義

設有兩事件A,B而P(B)≠0。則“在給定B發生的條件下A的條件概率”，記為P(A|B)，定義為

P(A|B)=P(AB)/P(B)

思考：有三張牌，第一張牌兩面都是一個實心點，第二張牌一面為一實心點，一面為一空心點；第三張牌兩面都是空心點。現在隨機從3張中抽一張牌，而且它的一面是實心點，那么這張牌另一面也是實心點的概率是多少？

4.2 事件的獨立性，概率乘法定理

設有兩事件A,B，A的無條件概率P(A)與其在給定B發生之下的條件概率P(A|B)，一般是有差異的。這反映了這兩事件之間存在著一些關聯。例如，若P(A|B)>P(A)，則B的發生使A發生的可能性增大了：B促進了A的發生。

反之，若P(A|B)=P(A)，則B的發生與否對A發生可能性毫無影響。這時在概率論上就稱A，B兩事件獨立。我們很容易得到

P(AB)=P(A)P(B)

對于滿足上面公式的兩件事件A，B，稱A，B獨立。上面的公式也即為概率的乘法定理。

判斷事件是相互獨立，有時并不是通過上面的公式去判定。

假設擲3個骰子，定義下面兩個事件A和Ｂ。A＝{至少有一個骰子擲出１}，事件B＝｛三個骰子擲出的點數中至少有兩個一樣｝，問A，B是否獨立？

初看往往會覺得A與B獨立，因為一個關心的是擲出的點數，另一個是擲出的同樣性（不關心點數是多少）。也就是有沒有擲出1好像對事件B沒有利也沒有害。

換一個角度，考慮A的對立事件，即沒有一個骰子擲出1，說明三個骰子擲出的點數為{2,3,4,5,6}那么，事件B中，每個骰子最多只有5個結果了，相比原來少了一種可能性，那么顯然B事件發生最終的概率也變了。

若干個獨立事件A1,A2,…為有限或無限個事件。如果從其中任意取出有限個Ai1,Ai2,…,Aim都成立

P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aim)

則稱事件A1,A2,…相互獨立。也就是說，對一任意一件事A，其他事件的發生與否對事件A的發生沒有影響。

若干個獨立事件A1,…,An之積的概率，等于各事件概率的乘積：

P(A1…An)=P(A1)…P(An)

乘法定理的作用與加法定理一樣：把復雜事件的概率的計算歸結為更簡單的事件概率的計算，這當然要有條件，相加是互斥，相乘是獨立。

4.3 全概率公式與貝葉斯公式

全概率公式

設B1,B2,…為有限個或無限個事件，它們兩兩互斥且在每次實驗中至少發生一個，用式表示之，即

BiBj=?（不可能事件），當i≠jB1+B2+?=Ω（必然事件）

有時把具有這些性質的一組事件稱為一個“完備事件群”。注意，任一事件B及其對立事件組成一個完備事件群。

現在考慮任一事件A，因為Ω為必須事件，有A=AΩ=AB1+AB2+…。因為B1B2,…兩兩互斥，顯然AB1,AB2,…也兩兩互斥。根據加法定理有

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…

再由條件概率的定義，有P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)，代入上式得

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…

上面的公式即為全概率公式。

實用意義：在較復雜的情況下直接算P(A)不易，但A總是隨著某個Bi伴出，適當去構造這一組Bi往往可以簡化計算。

我們可以把P(Bi)看成權重，則全概率公式則為條件概率的加權。

貝葉斯公式

在全概率公式的假定之下，有

P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑jP(Bj)P(A|Bj)

上面就是著名的貝葉斯公式。

意義：先看P(B1),P(B2),…，它是沒有進一步的信息（不知事件A是否發生）的情況下，人們對事件B1,B2,…發生可能性大小的認識。現在有了新的信息（知道A發生），人們對B1,B2,…發生可能性大小有了新的估價。

如果我們把事件A看成“結果”，把諸事件B1,B2,…看成導致這結果的可能的“原因”，則可以形象地把全概率公式看作為“由原因推廣結果”；而貝葉斯公式則恰好相反，其作用在于“由結果推原因”：現在有一個“結果A已發生了”，在眾多可能的原因中，到底哪一個導致了這結果？貝葉斯公式說，各原因可能性大小與P(Bi|A)成比例。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率的基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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