作者：?阮一峰

日期：?2012年3月28日

（這個系列實在拖得太久，今天是最后一篇。）

上一篇介紹了"威爾遜區間"，它解決了投票人數過少、導致結果不可信的問題。

舉例來說，如果只有2個人投票，"威爾遜區間"的下限值會將贊成票的比例大幅拉低。這樣做固然保證了排名的可信性，但也帶來了另一個問題：排行榜前列總是那些票數最多的項目，新項目或者冷門的項目，很難有出頭機會，排名可能會長期靠后。

以IMDB為例，它是世界最大的電影數據庫，觀眾可以對每部電影投票，最低為1分，最高為10分。

系統根據投票結果，計算出每部電影的平均得分。然后，再根據平均得分，排出最受歡迎的前250名的電影。

這里就有一個問題：熱門電影與冷門電影的平均得分，是否真的可比？舉例來說，一部好萊塢大片有10000個觀眾投票，一部小成本的文藝片只有100個觀眾投票。這兩者的投票結果，怎么比較？如果使用"威爾遜區間"，后者的得分將被大幅拉低，這樣處理是否公平，能不能反映它們真正的質量？

一個合理的思路是，如果要比較兩部電影的好壞，至少應該請同樣多的觀眾觀看和評分。既然文藝片的觀眾人數偏少，那么應該設法為它增加一些觀眾。

在排名頁面的底部，IMDB給出了它的計算方法。

　　

　　- WR， 加權得分（weighted rating）。
　　- R，該電影的用戶投票的平均得分（Rating）。
　　- v，該電影的投票人數（votes）。
　　- m，排名前250名的電影的最低投票數（現在為3000）。
　　- C， 所有電影的平均得分（現在為6.9）。

仔細研究這個公式，你會發現，IMDB為每部電影增加了3000張選票，并且這些選票的評分都為6.9。這樣做的原因是，假設所有電影都至少有3000張選票，那么就都具備了進入前250名的評選條件；然后假設這3000張選票的評分是所有電影的平均得分（即假設這部電影具有平均水準）；最后，用現有的觀眾投票進行修正，長期來看，v/(v+m)這部分的權重將越來越大，得分將慢慢接近真實情況。

這樣做拉近了不同電影之間投票人數的差異，使得投票人數較少的電影也有可能排名前列。

把這個公式寫成更一般的形式：

　　

　　- C，投票人數擴展的規模，是一個自行設定的常數，與整個網站的總體用戶人數有關，可以等于每個項目的平均投票數。
　　- n，該項目的現有投票人數。
　　- x，該項目的每張選票的值。
　　- m，總體平均分，即整個網站所有選票的算術平均值。

這種算法被稱為"貝葉斯平均"（Bayesian average）。因為某種程度上，它借鑒了"貝葉斯推斷"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票結果，那就先估計一個值，然后不斷用新的信息修正，使得它越來越接近正確的值。

在這個公式中，m（總體平均分）是"先驗概率"，每一次新的投票都是一個調整因子，使總體平均分不斷向該項目的真實投票結果靠近。投票人數越多，該項目的"貝葉斯平均"就越接近算術平均，對排名的影響就越小。

因此，這種方法可以給一些投票人數較少的項目，以相對公平的排名。

=================================================

"貝葉斯平均"也有缺點，主要問題是它假設用戶的投票是正態分布。比如，電影A有10個觀眾評分，5個為五星，5個為一星；電影B也有10個觀眾評分，都給了三星。這兩部電影的平均得分（無論是算術平均，還是貝葉斯平均）都是三星，但是電影A可能比電影B更值得看。

解決這個問題的思路是，假定每個用戶的投票都是獨立事件，每次投票只有n個選項可以選擇，那么這就服從"多項分布"（Multinomial distribution），就可以結合貝葉斯定理，估計該分布的期望值。由于這涉及復雜的統計學知識，這里就不深入了，感興趣的朋友可以繼續閱讀William Morgan的How to rank products based on user input。

（完）

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• 發表日期：?2012年3月28日
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• 2013.12.16:?樸素貝葉斯分類器的應用 生活中很多場合需要用到分類，比如新聞分類、病人分類等等。

留言（24條）

ivan?說：

這個系列實在是太好了，看完覺得收獲很大！

2012年3月28日 21:15?|?∞?|?引用

glowdan?說：

這個系列不錯。reddit以前的和IMDB的以前看過，reddit現在的剛認識。看來還得好好搞下數理統計啊

2012年3月28日 21:47?|?∞?|?引用

abian?說：

這個系列時間差不多一個月吧，不錯，下學期的好好復習一下概率論咯。

2012年3月28日 22:42?|?∞?|?引用

碼農?說：

博主太強了，膜拜一下

2012年3月29日 00:27?|?∞?|?引用

9527?說：

總算完了！

2012年3月30日 14:36?|?∞?|?引用

莫逢?說：

最近在用貝葉斯統計做垃圾廣告的過濾算法，多有互通之處。
感嘆一句貝葉斯的智慧和偉大啊。

2012年3月30日 15:28?|?∞?|?引用

如果云知道?說：

老師~我上過您的課~~
來此膜拜下~

2012年3月30日 17:04?|?∞?|?引用

Ralph_adu?說：

不錯，這排名還可以應用到其他方面，學習了！

2012年3月31日 08:28?|?∞?|?引用

楊少波?說：

可以收集起來出一本書了，謝謝你的文章！

2012年3月31日 18:04?|?∞?|?引用

老好人?說：

挺好的！ IMDB的方法若變換為WR=( v / (v+m)) (R-C) +C 也可能促進理解

2012年4月 1日 11:01?|?∞?|?引用

想~~~?說：

今天怎么上不去你的博客了?我翻墻上來了...被和諧了???

2012年4月 5日 11:57?|?∞?|?引用

dk01?說：

佩服博主能高質量的完成這么有價值的文章

2012年4月 5日 14:29?|?∞?|?引用

ShiningRay?說：

正好自己的網站也要用到!!!

2012年4月 6日 23:49?|?∞?|?引用

Dell Zhang?說：

Dell Zhang, Robert Mao, Haitao Li, and Joanne Mao. How to Count
Thumb-Ups and Thumb-Downs: User-Rating based Ranking of Items from an
Axiomatic Perspective. In Proceedings of the 3rd International
Conference on the Theory of Information Retrieval (ICTIR), Bertinoro,
Italy, Sep 2011.

http://goo.gl/b3QyX

http://goo.gl/2Ama4

2012年4月 8日 20:09?|?∞?|?引用

摸象?說：

這個系列太棒了！感謝分享！

2012年4月28日 12:59?|?∞?|?引用

隨機導彈?說：

這樣補一些平均選票，有什么意義？不太懂
這樣小眾電影的分數會比初始評分更趨向于平均值，即高分變平庸，低分變中等。
求解

2012年5月18日 21:45?|?∞?|?引用

feng?說：

都看完了，收獲非常大，可悲，這些知識都還給學校了，當時要是能結合這些應用實例來學習多好

2012年7月25日 11:39?|?∞?|?引用

aaaa?說：

樓上人的回答讓我明白了學習其他語言的必要性

2013年12月21日 02:48?|?∞?|?引用

膜拜老師您?說：

受益匪淺

2014年2月 8日 09:25?|?∞?|?引用

tanleihaoren?說：

很好奇這些公式是如何被推導出來的？完全自己想象的么

2014年2月25日 17:45?|?∞?|?引用

B?說：

我最近正好在弄網站的內容排名，能找到您的文章真的太棒了！非常感謝！

2014年4月28日 15:11?|?∞?|?引用

vark?說：

引用隨機導彈的發言：

這樣補一些平均選票，有什么意義？不太懂
這樣小眾電影的分數會比初始評分更趨向于平均值，即高分變平庸，低分變中等。
求解

個人覺得這3000張選票只是在排序的時候才會被用到，而不會影響原有的電影評分，只是影響排名而已。

2014年10月15日 17:11?|?∞?|?引用

Iceyl?說：

受益匪淺

2015年2月 5日 17:24?|?∞?|?引用

cccc?說：

感覺這個系列文章沒有講到權重排序的本質是什么..........
權重排序的本質我認為應該是：
各個參數對排序權重的影響，這些參數對于權重分數的影響比例，比如0.2a,0.8a或者a^1.2等等

2015年6月 6日 14:08?|?∞?|?引用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于用户投票的排名算法（六）：贝叶斯平均的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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