一、統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念

統(tǒng)計(jì)學(xué)里最基本的概念就是樣本的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。首先，我們給定一個(gè)含有n個(gè)樣本的集合，下面給出這些概念的公式描述：

均值：

標(biāo)準(zhǔn)差：

方差：

均值描述的是樣本集合的中間點(diǎn)，它告訴我們的信息是有限的，而標(biāo)準(zhǔn)差給我們描述的是樣本集合的各個(gè)樣本點(diǎn)到均值的距離之平均。

以這兩個(gè)集合為例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，兩個(gè)集合的均值都是10，但顯然兩個(gè)集合的差別是很大的，計(jì)算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差，前者是8.3后者是1.8，顯然后者較為集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差小一些，標(biāo)準(zhǔn)差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因?yàn)檫@樣能使我們以較小的樣本集更好地逼近總體的標(biāo)準(zhǔn)差，即統(tǒng)計(jì)上所謂的“無(wú)偏估計(jì)”。而方差則僅僅是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。

?

二、為什么需要協(xié)方差

標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來(lái)描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實(shí)生活中我們常常會(huì)遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡(jiǎn)單的是大家上學(xué)時(shí)免不了要統(tǒng)計(jì)多個(gè)學(xué)科的考試成績(jī)。面對(duì)這樣的數(shù)據(jù)集，我們當(dāng)然可以按照每一維獨(dú)立的計(jì)算其方差，但是通常我們還想了解更多，比如，一個(gè)男孩子的猥瑣程度跟他受女孩子的歡迎程度是否存在一些聯(lián)系。協(xié)方差就是這樣一種用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，我們可以仿照方差的定義：

來(lái)度量各個(gè)維度偏離其均值的程度，協(xié)方差可以這樣來(lái)定義：

協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？如果結(jié)果為正值，則說(shuō)明兩者是正相關(guān)的（從協(xié)方差可以引出“相關(guān)系數(shù)”的定義），也就是說(shuō)一個(gè)人越猥瑣越受女孩歡迎。如果結(jié)果為負(fù)值， 就說(shuō)明兩者是負(fù)相關(guān)，越猥瑣女孩子越討厭。如果為0，則兩者之間沒(méi)有關(guān)系，猥瑣不猥瑣和女孩子喜不喜歡之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)，就是統(tǒng)計(jì)上說(shuō)的“相互獨(dú)立”。

從協(xié)方差的定義上我們也可以看出一些顯而易見(jiàn)的性質(zhì)，如：

?

三、協(xié)方差矩陣

前面提到的猥瑣和受歡迎的問(wèn)題是典型的二維問(wèn)題，而協(xié)方差也只能處理二維問(wèn)題，那維數(shù)多了自然就需要計(jì)算多個(gè)協(xié)方差，比如n維的數(shù)據(jù)集就需要計(jì)算個(gè)協(xié)方差，那自然而然我們會(huì)想到使用矩陣來(lái)組織這些數(shù)據(jù)。給出協(xié)方差矩陣的定義：

這個(gè)定義還是很容易理解的，我們可以舉一個(gè)三維的例子，假設(shè)數(shù)據(jù)集有三個(gè)維度，則協(xié)方差矩陣為：

可見(jiàn)，協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的矩陣，而且對(duì)角線(xiàn)是各個(gè)維度的方差。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/jackherrick/p/7127024.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习：协方差矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。