1.驗證旋轉矩陣是正交矩陣

感覺下面這篇博客寫的不錯

http://www.cnblogs.com/caster99/p/4703033.html?

總結一下：旋轉矩陣是一個完美的矩陣——正交矩陣。①行列式為1，②每個列向量都是單位向量且相互正交，③它的逆等于它的轉置。

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2.羅德里格斯公式的簡單推導

http://blog.sina.com.cn/s/blog_ea828d2a0102wlk6.html

羅德里格斯旋轉公式是通過反對稱矩陣求旋轉矩陣的方法，起初我在看別人寫的姿態解算分析文章里看到，他的推導如下：

請注意我做標記的地方，我剛開始一直不明白這種推導，這樣會有誤差的推導，難道羅德里格斯公式是對旋轉矩陣Ｒ的近似？這樣做并不好，反而會使解算的姿態更不準確，后來在群里討論這個問題，有大神給我解惑了。
首先我們明白這是一個SO(3)到SO(3)的李群的映射。不要擔心自己不知道李群是什么，因為我們下面的推導會非常簡單！

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我們先來看什么是反對稱矩陣，在這之前，先展示它和向量叉乘(內積)的關系：

紅色三個格子應該是i? j? k

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下面看看我們的反對稱矩陣運算：

加一個小三角，就是將這個向量變成一個反對稱矩陣

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?所以我們得出：

我們知道我們的旋轉矩陣Ｒ和我們的三角函數的關系，這里就不多說了，所以現在我們來看一個反對稱矩陣的性質，首先定義一個反對稱矩陣：

同時我們有如下的約束：

現在我們可以看到我們的反對稱陣有如下性質：

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現在可以進行我們的羅德里格斯公式推導了：

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?3.?驗證四元數旋轉某個點后，結果是一個虛四元數（實部為零），所以仍然對應 到一個三維空間點（式 3.34）。

?=.=? 看我干啥？下一題

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4.旋轉矩陣? 軸角? 歐拉角? 四元數

書上都有

P42 軸角[n,α]與旋轉矩陣的關系

P52 軸角[n,α]與四元數的關系

歐拉角存在gimbal lock，不研究他的關系【其實我不會】

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5.假設有一個大的eigen矩陣，想把他的左上角的3*3取出來，然后賦值為I_3x3

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6.Ax = b的Eigen實現

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7.

機器人一號和二號，分別在世界坐標系中。?
一號的位姿q1=[0.35,0.2,0.3,0.1],?t1=[0.3,0.1,0.1]T。?
二號的位姿q2=[?0.5,0.4,?0.1,0.2],?t2=[?0.1,0.5,0.3]T。?
q的第一項是實部，且還未歸一化。?
已知一號機器人看到某個點，在他的坐標系下是p=[0.5,0,0.2]T, 求在二號機器人坐標系下該點的位置。

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#include <iostream>
#include <cmath>// Eigen 部分
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩陣的代數運算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>
//Eigen 幾何模塊
#include <Eigen/Geometry>using namespace std;int main(int argc, char **argv) {Eigen::Quaterniond q1(0.35, 0.2, 0.3, 0.1);Eigen::Quaterniond q2(-0.5, 0.4, -0.1, 0.2);Eigen::Vector3d t1(0.3, 0.1, 0.1);Eigen::Vector3d t2(-0.1, 0.5, 0.3);Eigen::Vector3d p1(0.5, 0, 0.2);Eigen::Quaterniond q1_one = q1.normalized();Eigen::Quaterniond q2_one = q2.normalized();//way1
    Eigen::Vector3d v = q1_one.inverse() * (p1 - t1);Eigen::Vector3d v2 = q2_one * v + t2;cout << "way1 v2 = " << endl << v2 << endl;//way2    Eigen::Matrix3d R1 = Eigen::Matrix3d(q1_one);Eigen::Matrix3d R2 = Eigen::Matrix3d(q2_one);Eigen::Vector3d v_2 = R1.inverse() * (p1 - t1);Eigen::Vector3d v_2_2 = R2 * v_2 + t2;cout << "way2 v2= " << endl << v_2_2 << endl;return 0;
}

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way1 v2 = 
-0.03097310.734990.296108


way2 v2= 
-0.03097310.734990.296108
*** Exited normally ***

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轉載于:https://www.cnblogs.com/-Mr-y/p/7737990.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【视觉SLAM14讲】ch3课后题答案的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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