正向運動學和反向運動學

目錄

1. 2D中的旋轉矩陣
2. sympy包
3. 旋轉的合成
4. 旋轉矩陣中的歐拉角
5. 平移
6. 齊次變換及其逆變換
7. 齊次變換的合成
8. Denavit-Hartenberg 參數(shù)
9. DH參數(shù)分配算法
10. 正向運動學
11. 反向運動學
12. 反向運動學舉例

7.齊次變換的合成

齊次變換的合成與旋轉的合成遵循著相同的邏輯。

假設從坐標系C到坐標系B的變換是已知的，從坐標系B到坐標系a的變換也是已知的。
${}^C\mathbf{r}P/Co$關于坐標系_$A$首先將它轉化為坐標系$B$，

(6-1)

然后通過變換到A坐標系，

(6-2)

(6-1)(6-2)式可以組合為:

為了完整起見，把A和C之間的變換展開成已知的分量，
(6-3)
（6-4）

式(6-4)中的左上3x3子矩陣看起來應該很熟悉;它是a和C之間旋轉的組合。

${}_B^A{R}^{B}rCo/Bo$是向量從$B_o$到$Co$在_A坐標系中的表示。另一項，${}^A{\mathbf{r}}_{Bo/Ao}$是向量從$A_o$到$B_o$在_A坐標系中的表示。

為了幫助鞏固變換、逆變換和變換組合的概念，再考慮一個例子。這里是坐標系A到E。
假設我們想要創(chuàng)建坐標系A和E之間的變換;顯然，有兩條路。一條路徑有變換，

（6-5）

第二個是：

（6-6)

兩者的結果相同

（6-7)

下面程序是證明（7）式，經(jīng)過兩種途徑， 實現(xiàn)坐標系從A到E的變換

從A系到B系到E系:
坐標系A:位于[0,0,0]
坐標系B:將坐標系A旋轉大約a_y -90度。翻譯A by [- 2,2,4]
坐標系E:將坐標系B旋轉約b_x 90度。將B平移[0,2,0]

從A系到C系到D系到E系:
坐標系C:平移A到[4,4,0]
坐標系D:圍繞c_x旋轉坐標系C 90度。翻譯C by [- 3,3, 2]
坐標系E:圍繞d_Z旋轉坐標系D 90度。將D平移[- 3,2,3]

from sympy import symbols, cos, sin, pi, sqrt, simplify
from sympy.matrices import Matrix# 為聯(lián)合變量創(chuàng)建符號
# 數(shù)字1到4按指定的順序對應于每個旋轉。
q1, q2, q3, q4 = symbols('q1:5')# 定義關于給定特定角度的x、y和z的旋轉矩陣的函數(shù)。def rot_x(q):R_x = Matrix([[1, 0, 0],[0, cos(q), -sin(q)],[0, sin(q), cos(q)]])return R_xdef rot_y(q):R_y = Matrix([[cos(q), 0, sin(q)],[0, 1, 0],[-sin(q), 0, cos(q)]])return R_ydef rot_z(q):R_z = Matrix([[cos(q), -sin(q), 0],[sin(q), cos(q), 0],[0, 0, 1]])return R_z# 定義坐標系之間的旋轉# 坐標系A的初始旋轉矩陣
Ra = Matrix([[1, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 1]])# 在A->B->E坐標系上進行旋轉
Rb_a = rot_y(q1)
Re_b = rot_x(q2)# 在A->C->D->E坐標系上進行旋轉
Rc_a = Ra
Rd_c = rot_x(q3)
Re_d = rot_z(q4)# 定義坐標系之間的轉換tb_a = Matrix([[-2], [2], [4]])
te_b = Matrix([[0], [2], [0]])
tc_a = Matrix([[4], [4], [0]])
td_c = Matrix([[-3], [3], [2]])
te_d = Matrix([[-3], [2], [3]])# 定義齊次變換矩陣
Ta = Ra.row_join(Matrix([[0], [0], [0]]))
Ta = Ta.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))Tb_a = Rb_a.row_join(tb_a)
Tb_a = Tb_a.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))Te_b = Re_b.row_join(te_b)
Te_b = Te_b.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))Tc_a = Rc_a.row_join(tc_a)
Tc_a = Tc_a.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))Td_c = Rd_c.row_join(td_c)
Td_c = Td_c.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))Te_d = Re_d.row_join(te_d)
Te_d = Te_d.col_join(Matrix([[0, 0, 0, 1]]))# 化簡公式
Te_a_1 = simplify(Ta * Tb_a * Te_b)Te_a_2 = simplify(Ta * Tc_a * Td_c * Te_d)# 計算E的方向和位置
E_1 = Te_a_1.evalf(subs={q1: -pi / 2, q2: pi / 2}, chop=True)E_2 = Te_a_2.evalf(subs={q3: pi / 2, q4: pi / 2}, chop=True)print('E_1 :',E_1)
print('E_2 :',E_2)

有關更多sympy表達式化簡的在這里。

輸出如下：

E_1 : Matrix([[0, -1.00000000000000, 0, -2.00000000000000], [0, 0, -1.00000000000000, 4.00000000000000], [1.00000000000000, 0, 0, 4.00000000000000], [0, 0, 0, 1.00000000000000]])
E_2 : Matrix([[0, -1.00000000000000, 0, -2.00000000000000], [0, 0, -1.00000000000000, 4.00000000000000], [1.00000000000000, 0, 0, 4.00000000000000], [0, 0, 0, 1.00000000000000]])

由此看出，經(jīng)過兩個變換，兩者得出來的結果是相同的。

8.Denavit-Hartenberg 參數(shù)

在前面的課程中，介紹了旋轉、平移和齊次變換的概念。所有這些概念對于理解機械手正運動學問題都是必不可少的，即給定關節(jié)變量，計算末端執(zhí)行器的位置。求解過程包括在機械手的每個連桿上附加一個參照系，并寫出從固定基座連桿到連桿1、從連桿1到連桿2的齊次變換，一直到末端執(zhí)行器。

（7-1）

通常，每個變換需要6個獨立的參數(shù)來描述相對于坐標系$i?1$的坐標系$i$, 3個參數(shù)表示位置，3個參數(shù)表示方向。

1955年，雅克·德納維特(Jacques Denavit)和理查德·哈滕伯格(Richard Hartenberg)提出了一種將參照系附加到機械手連桿上的系統(tǒng)方法，簡化了齊次變換。他們的方法只需要四個參數(shù)來描述相鄰參考系的位置和方向。在機器人技術的早期，更緊湊的正運動學方程提供了巨大的好處，因為計算通常是人工或在處理能力有限的計算機上進行的。因此，用于描述機械手運動學的Denavit-Hartenberg (DH)方法現(xiàn)在是普遍存在的。

自最初的描述以來，DH方法已經(jīng)做了一些修改，主要是關于每個參考系原點的編號和位置，所以在比較來自不同來源的工作時，必須小心確定使用的是哪種約定。以下是五個最常見的來源，

• Waldron, KJ. A study of overconstrained linkage geometry by solution of closure equations, Part I: A method of study (1973). Mech. Mach. Theory 8(1):95-104.

• Paul, R. (1982). Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control (MIT Press, Cambridge, MA)

• Craig, JJ. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Ed (Pearson Education, Inc., NJ)(機器人學概論:機械與控制，第三版)

• Khalil, W and Dombre, E. (2002). Modeling, Identification and Control of Robots (Taylor Francis, NY)

• M. Spong and M. Vidyasagar, Robot Modeling and Control, Wiley, 2005

這里使用John J Craig書中描述的約定。

這些慣例上的差異使得比較結果更加困難。重要的是始終檢查齊次變換序列是如何執(zhí)行的，以關聯(lián)相鄰的連接。下面描述的約定與Craig(2005)一致。涉及的參數(shù) α，a，d和θ。
參數(shù)名稱和定義總結如下:

• ${\alpha }_{i?1}$(扭轉角) = 沿${\hat{X}}_{i?1}$以右手法則觀測的 ${\hat{Z}}_{i?1}$和${\hat{Z}}_i$之間的夾角。
• $a_{i?1}$ (連桿長度) = 沿${\hat{X}}_{i?1}$測量的從${\hat{Z}}_{i?1}$到${\hat{Z}}_i$的距離，且${\hat{X}}_{i?1}$是垂直于 ${\hat{Z}}_{i?1}$和${\hat{Z}}_i$的。
• $d_i$(連接偏移) = 沿${\hat{Z}}_i$觀測的${\hat{X}}_{i?1}$和${\hat{X}}_i$之間的有符號距離。注意，這個量在棱柱連接（移動副）的情況下是一個變量。
• ${\theta }_i$ (關節(jié)角度) = 沿著${\hat{Z}}_i$以右手法則觀測的${\hat{X}}_{i?1}$和${\hat{X}}_i$之間的夾角。注意，對于轉動連接（轉動副），這個量是一個變量。

關于連接方式，參考這里。

對于一個n自由度的機械手，將有n個關節(jié){1,2，…，n}，由于每個關節(jié)連接兩個連桿，所以有n+1個連桿{0,1，…，n}。按照慣例，固定的基本鏈接為鏈接0，索引$i$朝著末端執(zhí)行器順序增加。注意，如上面的圖所示，并不要求坐標系的原點在連接點上，只是要求它與連接點一起嚴格移動。坐標系的z軸，在轉動連接的情況下，與關節(jié)的旋轉軸對齊。因此，相對于連接$i?1$,連接$i$繞${\hat{Z}}_i$旋轉。對于棱形聯(lián)接，z軸與其運動方向一致。

一個與兩個向量相互垂直的單位向量定義為，

(7-2)
即，向量的叉乘除以向量叉乘的模。只有在傾斜軸的情況下，${\hat{X}}_{i?1}$是唯一的。對于相交軸，符號的選擇是任意的。通常的做法是選擇${\hat{X}}_{i?1}$的方向，使連接$i$的正向旋轉到合適的位置。

對于平行的軸，有無限多種可能。在這種情況下，應該尋找機會將參考系的原點放在它可以使其他一些參數(shù)等于零的位置。

最后，選擇y軸來完成一個右手坐標系。

從坐標系$i?1$到坐標系$i$的齊次變換是由四個基本變換、兩個旋轉和兩個平移組成的矩陣，如下所示

(7-3)

(7-4)

方程(7-1)和(7-3)的理解非常重要。當

學習為一個新的機械手編寫DH參數(shù)時，經(jīng)常會糾結于在哪里放置參考幀，如何定位它們，以及跟蹤索引。我們應該經(jīng)常問自己的一個問題是:“變換是否移動了連接$i?1$中的參考系，使其與連接$i$中的參考系完全一致?”如果答案是肯定的，這是一個好的跡象。

同樣重要的是，在式(7-3)中，只有一個參數(shù)是可變的 (${\theta }_i$或$d_i$) ，連桿長度和扭轉角是常數(shù)。因此，對于從基礎連接到末端執(zhí)行器${}_n^{0}T$的整個變換，只有n個變量。

9.DH參數(shù)分配算法

上一課試圖解釋DH參數(shù)背后的理論和動機。現(xiàn)在的重點是如何在算法上為操縱器的鏈接分配參考坐標系。請記住，坐標系$i?1$牢固地連接到坐標系$i$。為了方便起見，接著用上面的圖

具有n個自由度的運動鏈（即關節(jié)）的參數(shù)分配過程總結為：

1. 標記{1，2，…，n }中的所有關節(jié)。

2. 將{0，1，…，n}中的所有鏈接標記為固定的基本鏈接為0。

3. 在所有關節(jié)上畫線，定義關節(jié)軸。

4. 分配每個框架的Z軸指向其關節(jié)軸。

5. 在${\hat{Z}}_{i?1}$和 ${\hat{Z}}_i$之間識別每個坐標系的共同法線 。

6. “中間鏈接”（即，不是基礎鏈接或末端執(zhí)行器。）的端點與兩個關節(jié)軸$i$和$i+1$相關聯(lián)。對于從1到n-1的$i$，將${\hat{X}}_i$賦值為：

   • 對于傾斜軸，沿法線之間 ${\hat{Z}}_i$ 和${\hat{Z}}_{i+1}$，并從$i$指向$i+1$。

   • 對于相交軸，垂直于包含 ${\hat{Z}}_i$ 和 ${\hat{Z}}_{i+1}$。

   • 對于平行軸或重合軸，分配是任意的；尋找使其他DH參數(shù)等于零的方法。

7. 對于基本鏈接，當?shù)谝粋€關節(jié)變量（${\theta }_1$或者$d_1$）為0時，總是選擇坐標系$0$與坐標系$1$重合。這將保證 ${\alpha }_0$ = 0。注意，如果關節(jié)1是轉動的，則 連接偏移$d_1$ =0。如果關節(jié)1是棱柱形的，則 轉動角度${\theta }_1=0$。

8. 對于末端執(zhí)行器坐標系，如果關節(jié)n是轉動關節(jié)。 當${\theta }_n$ = 0和坐標系n的原點即 $d_n$ = 0，選擇 $X_n$朝向 $X_{n?1}$。

進行坐標系分配后，DH參數(shù)通常以表格形式顯示（如下）。表中的每一行都對應于從坐標系$i$到坐標系$i+1$的轉換。

這是一些DH參數(shù)簡化，以便在選擇框架任務時尋找。

• 涉及到坐標軸${\hat{Z}}_{i?1}$到坐標軸${\hat{Z}}_i$的特殊情況：
  • 共線：$\alpha =0$ and a = 0
  • 平行：$\alpha =0$ and a $=$ 0
  • 相交：$\alpha =0$ and a = 0
  • 如果公共法線在坐標系i的原點與${\hat{Z}}_i$相交，那么$d_i$ = 0

不同的作者提出了多種分配DH參數(shù)的約定。即使兩個分析人員使用相同的約定，也無法保證將導致相同的坐標系分配給鏈接。但是，如果選擇相同的基本框架和相同的點作為框架n的原點，則無論使用哪種約定，從0到n的整體轉換都將是相同的。

10.正向運動學

正向運動學問題歸結為齊次變換的合成。我們從基礎鏈接開始，然后逐個鏈接移動到末端執(zhí)行器。并且使用DH參數(shù)來構建每個單獨的變換。

相鄰連接的總變換實際上由四個單獨的轉換組成，2個旋轉和2個平移。以SCARA為例，
按照介紹的DH參數(shù)的8步分布過程，我們可以得到右面這個表格。注意每一行只有一個變量（${\theta }_1$或者$d_1$）。

程序如下：

首先從SymPy導入幾個組件。

from sympy import symbols, cos, sin, pi, simplify
from sympy.matrices import Matrix

接下來，我們定義將在變換方程中使用的符號。在這里，我用q表示廣義坐標；d，a和alpha是其他DH參數(shù)。

### Create symbols for joint variables
q1, q2, q3, q4 = symbols('q1:5')
d1, d2, d3, d4 = symbols('d1:5')
a0, a1, a2, a3 = symbols('a0:4')
alpha0, alpha1, alpha2, alpha3 = symbols('alpha0:4')

對于非零常數(shù)DH參數(shù)，使用數(shù)值進行表達。

a12 = 0.4500 # meters
a23 = 0.3000 # meters

在這里，建立了一個字典，將數(shù)字值綁定到那些常量的DH參數(shù)上。

# DH Parameters
s = {alpha0: 0,  a0:   0, d1: 0, alpha1: 0,  a1: a12, d2: 0,  alpha2: 0,  a2: a23, q3: 0,alpha3: 0,  a3:   0, d4: 0}

然后，定義相鄰鏈接之間的齊次變換，并使用subs方法將已知的常數(shù)值替換為表達式。

# 齊次變換
T0_1 = Matrix([[             cos(q1),            -sin(q1),            0,              a0],[ sin(q1)*cos(alpha0), cos(q1)*cos(alpha0), -sin(alpha0), -sin(alpha0)*d1],[ sin(q1)*sin(alpha0), cos(q1)*sin(alpha0),  cos(alpha0),  cos(alpha0)*d1],[                   0,                   0,            0,               1]])
T0_1 = T0_1.subs(s)T1_2 = Matrix([[             cos(q2),            -sin(q2),            0,              a1],[ sin(q2)*cos(alpha1), cos(q2)*cos(alpha1), -sin(alpha1), -sin(alpha1)*d2],[ sin(q2)*sin(alpha1), cos(q2)*sin(alpha1),  cos(alpha1),  cos(alpha1)*d2],[                   0,                   0,            0,               1]])
T1_2 = T1_2.subs(s)T2_3 = Matrix([[             cos(q3),            -sin(q3),            0,              a2],[ sin(q3)*cos(alpha2), cos(q3)*cos(alpha2), -sin(alpha2), -sin(alpha2)*d3],[ sin(q3)*sin(alpha2), cos(q3)*sin(alpha2),  cos(alpha2),  cos(alpha2)*d3],[                   0,                   0,            0,               1]])
T2_3 = T2_3.subs(s)T3_4 = Matrix([[             cos(q4),            -sin(q4),            0,              a3],[ sin(q4)*cos(alpha3), cos(q4)*cos(alpha3), -sin(alpha3), -sin(alpha3)*d4],[ sin(q4)*sin(alpha3), cos(q4)*sin(alpha3),  cos(alpha3),  cos(alpha3)*d4],[                   0,                   0,            0,               1]])
T3_4 = T3_4.subs(s)

最后，通過組合各個鏈接變換來創(chuàng)建基礎框架和末端執(zhí)行器之間的整體變換。

# Transform from base link to end effector
T0_4 = simplify(T0_1 * T1_2 * T2_3 * T3_4)

print命令顯示整體變換。

print(T0_4)

對符號表達式進行數(shù)值計算的方法有很多，一種簡單的方法是使用evalf方法并傳入字典。

print(T0_4.evalf(subs={q1: 0, q2: 0, d3: 0, q4: 0}))

輸出如下：

Matrix([[cos(q1 + q2 + q4), -sin(q1 + q2 + q4), 0, 0.45*cos(q1) + 0.3*cos(q1 + q2)], [sin(q1 + q2 + q4), cos(q1 + q2 + q4), 0, 0.45*sin(q1) + 0.3*sin(q1 + q2)], [0, 0, 1, d3], [0, 0, 0, 1]])
Matrix([[1.00000000000000, 0, 0, 0.750000000000000], [0, 1.00000000000000, 0, 0], [0, 0, 1.00000000000000, 0], [0, 0, 0, 1.00000000000000]])

11.反向運動學

反向運動學（IK）本質上與正向運動學相反。在這種情況下，末端執(zhí)行器的姿勢（即位置和方向）是已知的，目標是計算操縱器的關節(jié)角度。但是，IK問題更具挑戰(zhàn)性。正如我們在DH參數(shù)課程中所看到的，相鄰鏈接之間的均勻變換為：

因此，對于具有n個關節(jié)的操縱器，基礎執(zhí)行器和末端執(zhí)行器之間的整體轉換涉及方程式（1）的n倍。顯然，這會導致復雜的，高度非線性的方程，這些方程通常具有零個或多個解。此外，這些數(shù)學解實際上可能違反了現(xiàn)實世界的聯(lián)合限制，因此在數(shù)學上可能的解中進行選擇時需要格外小心。讓我們暫停片刻，思考一下這些不同解決方案的物理含義。

考慮“擬人”（RRR）機械手的情況。名稱來自以下事實：關節(jié)1類似于人的髖關節(jié)（想象在腰部繞垂直軸扭曲），關節(jié)2是“肩膀”，關節(jié)3是“肘”。如果我們只關心末端執(zhí)行器的位置，則有四種可能的方法可以到達操縱器工作空間中的3D點。注意每個旋轉關節(jié)上的陰影。第一行對應于“彎頭”解決方案。第1列對應髖關節(jié)=θ的解，第2列對應髖關節(jié)=θ+π的解。

有兩種不同的解決方法可以解決IK問題。第一種是純數(shù)值方法。本質上，此方法是猜測式的，并且會反復進行，直到錯誤足夠小或花了很長時間使放棄為止。Newton-Raphson算法是一種常見選擇，因為它在概念上很簡單，并且如果初始猜測“足夠接近”該解，則收斂速度為二次方。但是，不能保證算法會收斂或快速收斂到足以滿足應用程序要求的程度，并且只能返回一種解決方案。為了生成各種可能姿勢的解決方案，必須使用不同的初始條件。數(shù)值方法的優(yōu)點在于，相同的算法適用于所有串行操縱器。

另一種且更優(yōu)選的方法是已知的“分析”或“封閉形式”。封閉形式的解決方案是不需要迭代即可求解的特定代數(shù)方程式，它具有兩個主要優(yōu)點：通常，它們比數(shù)值方法求解速度快得多，并且更容易為相應的可能解決方案制定規(guī)則。一。但是，只有某些類型的操縱器可以閉合形式求解。顯而易見的問題是，那么哪種類型的操縱器具有封閉形式的解決方案？研究表明，如果滿足以下兩個條件之一，則串行機械手可以閉合形式求解。

1. 三個相鄰的關節(jié)軸在單個點處相交，或者
2. 三個相鄰的關節(jié)軸是平行的（從技術上講，這是1的特例，因為平行線在無限遠處相交）

幸運的是，目前工業(yè)上使用的六種DoF串行操縱器中的大多數(shù)將滿足上述條件之一。

機械手中的最后三個關節(jié)通常是滿足條件1的旋轉關節(jié)。這種設計稱為球形腕，而相交的公共點稱為腕中心。這種設計的優(yōu)點在于，它在運動學上解耦了末端執(zhí)行器的位置和方向。從數(shù)學上講，這意味著可以解決十二個問題非線性方程（同時在整個齊次變換矩陣的前三行中為每個項建立一個方程），現(xiàn)在可以獨立解決兩個簡單的問題：首先是腕部中心的笛卡爾坐標，然后是調整末端執(zhí)行器的方向。從物理上講，具有球形腕部的六自由度串行機械手將使用前三個關節(jié)來控制腕部中心的位置，而最后三個關節(jié)將根據(jù)需要對末端執(zhí)行器進行定向。

現(xiàn)在，我們將正式確定帶球形腕的串行機械手的解決方法。考慮此處所示的六自由度機械手，其中關節(jié)4、5和6包括球形手腕。腕部中心（WC）和末端執(zhí)行器（EE）相對于底架“ 0”的位置由下式給出：

${}^0{\mathbf{r}}_{WC/0}$和${}^0{\mathbf{r}}_{EE/0}$。

EE相對于WC的位置由下式給出：${}^0{\mathbf{r}}_{WC/EE}$ 。

注意，所有三個向量均以基礎坐標系表示，如前導上標“ 0”所示。
步驟1： 完成機械手的DH參數(shù)表。提示：將第4、5和6幀的原點與WC重合。

步驟2： 查找WC相對于基礎框架的位置。回想一下，基礎執(zhí)行器和末端執(zhí)行器之間的整體同類轉換具有以下形式，

例如，如果選擇z4平行于z6，并且從WC指向EE，那么這個位移就是沿著z6的簡單平移。這個位移的大小，記為d，取決于機械手的尺寸，在URDF文件中定義。此外，由于r13、r23和r33定義了EE相對于基坐標系的z軸，WC的笛卡爾坐標為，

步驟3: 求出關節(jié)變量q1 q2 q3，使得WC的坐標為式(3)，這一步比較難。解決這一問題的一種方法是反復將連桿投影到平面上，并用三角函數(shù)求解關節(jié)角。不幸的是，沒有一種通用的配方適用于所有的操作器，所以必須進行試驗。

步驟4: 已知前三個關節(jié)變量后，計算${}_0^{3}R$通過應用齊次變換得到WC。

步驟5: 找到一組與旋轉矩陣對應的歐拉角，

步驟6 **：從一組可能的解決方案中選擇正確的解決方案

12.反向運動學舉例

點$z_c$可以認為是球形手腕的手腕中心。假設$z_c$的笛卡爾坐標已經(jīng)計算出來。要找到${\theta }_1$，我們需要將$z_c$投影到地平面上。這是一個很簡單的任務，只需要將z坐標設置為0。

從而，

${\theta }_1=\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}2({\mathbf{y}}_{\mathbf{c}},{\mathbf{x}}_{\mathbf{c}})$

${\mathbf{r}}^2={\mathbf{x}}_{\mathbf{c}}^2+{\mathbf{y}}_{\mathbf{c}}^2$

$\mathbf{s}={\mathbf{z}}_{\mathbf{c}}?{\mathbf{d}}_1$

最后一個關節(jié)變量d3表示移動關節(jié)的長度。從圖中可以看出，d3是一個直角三角形的斜邊，邊為r和s。解d3,

${\mathbf{d}}_3=\sqrt{{\mathbf{r}}^2+{\mathbf{s}}^2}=\sqrt{{\mathbf{x}}_{\mathbf{c}}^2+{\mathbf{y}}_{\mathbf{c}}^2+({\mathbf{z}}_{\mathbf{c}}?{\mathbf{d}}_1{)}^2}$

前三個聯(lián)合變量現(xiàn)在以封閉的形式顯式地描述。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Udacity机器人软件工程师课程笔记（十五）-运动学-正向运动学和反向运动学(其二)-DH参数等的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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