當(dāng)前位置：首頁 > 人文社科 > 生活经验 >内容正文

生活经验

pat 多项式A/B

發(fā)布時(shí)間：2023/11/27 生活经验 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 pat 多项式A/B 小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

第一次接觸多項(xiàng)式除法

cccc L2-018. 多項(xiàng)式A除以B

2017-04-01 09:09?9人閱讀?評(píng)論(0)?收藏?舉報(bào) ?分類：數(shù)學(xué)（30）??模擬（4）?

目錄(?)[+]

點(diǎn)擊打開鏈接

【轉(zhuǎn)自 ??Daemoonn? ?】

[cpp]?view plaincopy print?

直接看到這題，我是沒看懂的。然后就放哪里，沒有寫。后來看了多項(xiàng)式除法的一個(gè)視頻，（網(wǎng)易公開課里面的）才會(huì)多項(xiàng)式除法。然后發(fā)現(xiàn)Daemoonn 寫的比較清楚，好記。拿來做模板吧。

計(jì)算

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.

把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊，寫成以下這種形式：

{\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.

然后商和余數(shù)可以這樣計(jì)算：

將分子的第一項(xiàng)除以分母的最高次項(xiàng)（即次數(shù)最高的項(xiàng)，此處為x）。結(jié)果寫在橫線之上(x³?÷?x?=?x²).
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ }}
將分母乘以剛得到結(jié)果（最終商的第一項(xiàng)），乘積寫在分子前兩項(xiàng)之下（同類項(xiàng)對(duì)齊） (x²?·?(x???3) =?x³???3x²).
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2 }}
從分子的相應(yīng)項(xiàng)中減去剛得到的乘積（消去相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合起來），結(jié)果寫在下面。((x³???12x²)???(x³???3x²) = ?12x²?+?3x²?= ?9x²)然后，將分子的下一項(xiàng)“拿下來”。
${\displaystyle {$ x2x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2????????9x2+0x }}
把減得的差當(dāng)作新的被除式，重復(fù)前三步（直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止．被除式=除式×商式+余式）
${\displaystyle {$ x2?9xx?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42 }}
重復(fù)第四步。這次沒什么可以“拿下來”了。
${\displaystyle {$ x2?9x?27x?3)x3?12x2+0x?42ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉx3?3x2??????????9x2+0x?9x2+27x??????????27x?42?27x+81??????????123 }}

橫線之上的多項(xiàng)式即為商，而剩下的 (?123) 就是余數(shù)。

{\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}

算數(shù)的長除法可以看做以上算法的一個(gè)特殊情形，即所有?x?被替換為10的情形。

除法變換[編輯]

使用多項(xiàng)式長除法可以將一個(gè)多項(xiàng)式寫成除數(shù)-商的形式（經(jīng)常很有用）。考慮多項(xiàng)式?P(x),?D(x) （(D)的次數(shù) < (P)的次數(shù)）。然后，對(duì)某個(gè)商多項(xiàng)式?Q(x) 和余數(shù)多項(xiàng)式?R(x) （(R)的系數(shù) < (D)的系數(shù)），

{\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).

這種變換叫做除法變換，是從算數(shù)等式? ${\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }$ .^[1]?得到的。

應(yīng)用[編輯]

多項(xiàng)式的因式分解[編輯]

有時(shí)某個(gè)多項(xiàng)式的一或多個(gè)根已知，可能是使用有理數(shù)根定理得到的。如果一個(gè) ${\displaystyle n}$ 次多項(xiàng)式? ${\displaystyle P(x)}$ 的一個(gè)根 ${\displaystyle r}$ 已知，那么 ${\displaystyle P(x)}$ ?可以使用多項(xiàng)式長除法因式分解為 ${\displaystyle (x-r)Q(x)}$ 的形式，其中 ${\displaystyle Q(x)}$ 是一個(gè) ${\displaystyle n-1}$ 次的多項(xiàng)式。簡單來說， ${\displaystyle Q(x)}$ 就是長除法的商，而又知 ${\displaystyle r}$ 是 ${\displaystyle P(x)}$ 的一個(gè)根、余式必定為零。

相似地，如果不止一個(gè)根是已知的，比如已知 ${\displaystyle r}$ 和 ${\displaystyle s}$ 這兩個(gè)，那么可以先從 ${\displaystyle P(x)}$ 中除掉線性因子 ${\displaystyle x-r}$ 得到 ${\displaystyle Q(x)}$ ，再從 ${\displaystyle Q(x)}$ 中除掉? ${\displaystyle x-s}$ ，以此類推。或者可以一次性地除掉二次因子 $x^{2}-(r+s)x+rs$ 。

使用這種方法，有時(shí)超過四次的多項(xiàng)式的所有根都可以求得，雖然這并不總是可能的。例如，如果有理數(shù)根定理可以用來求得一個(gè)五次方程的一個(gè)（比例）根，它就可以被除掉以得到一個(gè)四次商式；然后使用四次方程求根的顯式公式求得剩余的根。

尋找多項(xiàng)式的切線[編輯]

多項(xiàng)式長除法可以用來在給定點(diǎn)上查找給定多項(xiàng)式的切線方程。^[2]?如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)²?的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x)，不論 r 是否是 P(x) 的根。

[cpp]?view plaincopy print?

#include<iostream>??
#include<string>??
#include<stdio.h>??
#include<string.h>??
#include<map>??
#include<queue>??
#include<math.h>??
#include<algorithm>??
using?namespace?std;??
const?int?maxn=1e6+100;??
int?x,lena,lenb,maxa=-1,maxb=-1,cntc,cnta;??
double?y,a[maxn],b[maxn],c[maxn];??
int?input(int?len,double?*arr,?int?*maxx){??
????for(int?i=0;i<len;++i){??
????????scanf("%d%lf",&x,&y);??
????????arr[x]=y;??
????????*maxx=max(*maxx,x);??
????}??
??
}??
void?clearzoro(int?&cnt,int?be,double?*arr){??
????cnt=0;??
????for(int?i=be;i>=0;--i){??
????????if(!fabs(arr[i])<1e-8)??
????????????fabs(arr[i])<0.05?arr[i]=0.0:cnt++;??
????}??
}??
void?output(int?cnt,int?be,double?*arr){??
????if(cnt==0)?puts("0?0?0.0");??
????else?{??
????????printf("%d",cnt);??
????????for(int?i=be;i>=0;--i){??
????????????if(!fabs(arr[i])<1e-8)?printf("?%d?%.1lf",i,arr[i]);??
????????}??
????????puts("");??
????}??
}??
??
int?main(){??
??
????scanf("%d",&lena);??
????input(lena,a,&maxa);??
????scanf("%d",&lenb);??
????input(lenb,b,&maxb);??
????for(int?i=maxa;i>=maxb;--i){??
????????c[i-maxb]=a[i]/b[maxb];??
????????for(int?j=maxb;j>=0;--j)??
????????????a[j+i-maxb]-=b[j]*c[i-maxb];??
????}??
????clearzoro(cntc,maxa-maxb,c);??
????clearzoro(cnta,maxb,a);??
????output(cntc,maxa-maxb,c);??
????output(cnta,maxb-1,a);??
????return?0;??
}??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的pat 多项式A/B的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。