利用leastsq()函數對數據進行最小二乘算法擬合。

先來看個簡單的線性的例子：

#假設要擬合的數據點(xdata,ydata)如下

import numpy as np

from scipy import optimize

import matplotlib.pyplot as plt

xdata=np.array([8.19,2.72,6.39,8.71,4.7,2.66,3.78])

ydata=np.array([7.01,2.78,6.47,6.71,4.1,4.23,4.05])

#先作圖看下大概的(xdata,ydata)的形狀

plt.plot(xdata, ydata, 'b.', label='data')

#plt.show()

#可得形狀如下

#通過散點(xdata,ydata)的形狀，可使用線性函數y=k*x+b來擬合數據點。首先定義殘差函數y-f(x)

def residual(p):

k,b=p

return ydata-(k*xdata+b)

result=optimize.leastsq(residual,[0,0])

#leastsq函數的調用形式：scipy.optimize.leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

#leastsq函數中的func和x0為必須的參數，其中func為殘差函數y-f(x)(該例為residual函數，即ydata-(k*xdata+b))；x0為待定參數估計的初始值，可以驗證，leastsq函數對初始估計值不敏感，但是最好還是基于經驗取一個大概的值，不然結果會失真，這一點在后面會繼續講到。

#由于在該例的residual函數中，p為兩個待定參數k和b的值，所以該例中leastsq函數的x0位置要傳入一個二維的列表，而且不能寫成r=optimize.leastsq(residual,0,0)。如果寫成r=optimize.leastsq(residual,0,0)，那么后面的0會傳入leastsq函數的args這個參數中。這里需要注意位置的對應關系。

#所以無論residual函數中有多少個待定參數(該例為k和b兩個)，都寫成一個類似于該例一樣的數組p，然后在調用leastsq函數時，用一個待定參數初始值的估計值組成的數組(該例為[0,0])傳入leastsq函數中。

print (result[0])

#最后將數據點和擬合曲線放在一張圖中

ydatafit=result[0][0]*xdata+result[0][1]

#k=result[0][0]; b=result[0][1]

plt.plot(xdata,ydatafit, 'r-', label='fit: a=%5.3f, b=%5.3f' % tuple(result[0]))

plt.show()

#再來看個數據稍微復雜的例子：

#假設要擬合的數據點(xdata,ydata)如下，這里通過函數加入噪聲來形成要擬合的數據點

import numpy as np

from scipy import optimize

import matplotlib.pyplot as plt

def func(x):

return 2.5 * np.exp(-1.3 * x) + 0.5

xdata = np.linspace(0, 4, 50)

y=func(xdata)

ydata=y+0.2*np.random.normal(size=xdata.size)

#至此，得到了要擬合的數據點(xdata,ydata)，如下圖所示

plt.plot(xdata, ydata, 'b.', label='data')

#plt.show()

'''

#這里我們首先以先知者的角色來以形式為y=a* np.exp(-b?* x) +?c的函數來擬合數據：

def residual(p):

a,b,c=p

return ydata-(a*?np.exp(-b?*?xdata)?+?c)

#注意這里不要寫成returnydata-a*?np.exp(-b?*?xdata)?+?c

result=optimize.leastsq(residual,[1,1,1])

print (result[0])

#最后將數據點和擬合曲線放在一張圖中

a,b,c=result[0]

ydatafit=a*?np.exp(-b?*?xdata)?+?c

plt.plot(xdata,ydatafit, 'r-', label='fit: a=%5.3f, b=%5.3f, c=%5.3f' % tuple(result[0]))

plt.show()

'''

#以上，我們是以一個先知者的角色來選取函數y=a* np.exp(-b?* x) +?c來擬合，因為數據點是通過這個函數再加入一些噪聲形成的。正常地，我們應該通過觀測數據點的分布圖，然后想到可以利用類似于一個指數函數的形式y=a* x**b?+?c來擬合。過程如下

def residual(p):

a,b,c=p

return ydata-(a* xdata**b?+?c)

result=optimize.leastsq(residual,[1,1,1])

print (result[0])

#最后將數據點和擬合曲線放在一張圖中

a,b,c=result[0]

ydatafit=a*xdata**b+c

plt.plot(xdata,ydatafit, 'r-', label='fit: a=%5.3f, b=%5.3f, c=%5.3f'?% tuple(result[0]))

plt.show()

#這里，如果我們改變待定參數的初始估計值，如改為result=optimize.leastsq(residual,[1,100,1])，則形狀如下

#顯然不是我們想要的結果，所以說雖然leastsq()函數對待定參數的初始估計值不敏感，但是估計值也應該在合理范圍中。如果出現類似于上圖這種不合理的結果，則再次調整初始估計值則可。

總結一下leastsq()函數的使用：1.首先對于給定數據點的散點形狀先進行一個分析，大致判斷一個函數的形式。2.寫成這個函數的殘差函數y-f(x)。3.傳入兩個必須的參數，即殘差函數和待定參數的初始估計值進入leastsq()函數中進行擬合，注意待定參數的初始值要取得較為合理。

#講到將殘差函數傳入某函數中進行分析，optimize.fsolve()函數也是需要傳入殘差函數來計算的，該函數主要是來計算非線性方程組

#optimize.fsolve()函數的調用形式為：scipy.optimize.fsolve(func, x0, args=(), fprime=None, full_output=0, col_deriv=0, xtol=1.49012e-08, maxfev=0, band=None, epsfcn=None, factor=100, diag=None)，其中前兩個參數func和x0是必須的參數，func為殘差函數，x0為待求參數的初始估計值。

#例子如下，要求的非線性方程組如下圖

import numpy as np

from scipy import optimize

#定義殘差函數

def residual(p):

x0,x1,x2 = p

return[5*np.cos(x1)+3*x0,4*x0**2-2*np.sin(x1*x2),x1*np.sin(x2)-1.5]

result = optimize.fsolve(residual,[1,1,1])

print (result)

#result=[0.06717167 1.61111025 1.94435388]

#此外，optimize.fslove()函數提供了fprime參數(見該函數的調用形式的第三個參數)來傳遞未知數的雅各比矩陣從而加速計算，傳遞的雅各比矩陣每i行是第i個方程分別為x0、x1、x2...的導數。如求解上例的代碼可以改寫為：

import numpy as np

from scipy import optimize

def residual(p):

x0,x1,x2 = p

return[5*np.cos(x1)+3*x0,4*x0**2-2*np.sin(x1*x2),x1*np.sin(x2)-1.5]

def func(p):

x0,x1,x2 = p

return[[3, -5*np.sin(x1), 0], [8*x0, -2*x2*np.cos(x1*x2), -2*x1*np.cos(x1*x2)], [0, np.sin(x2), x1*np.cos(x2)]]

#如[3, -5*np.sin(x1), 0]的三個數則為第一個方程5*np.cos(x1)+3*x0分別對x0、x1、x2的導數，其余類似

result = optimize.fsolve(residual,[1,1,1], fprime=func)

print (result)

#result=[0.06717167 1.61111025 1.94435388]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python fsolve_Python-optimize.leastsq()和optimize.fsolve()的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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