雙圓弧插值算法（二）

找到中心

找到連接點(diǎn)后，就可以求解圓心。我們定義一個向量，n1，垂直于t1。這最終是一個與（c1?p1）平行的標(biāo)準(zhǔn)化向量。從p1到c1的方向。

綜合起來，我們得到了c1的解。

通過檢查上述方程中的分母，我們可以看出，如果p1到pm的向量與t1共線，它將為零。圓的中心基本上被推到無窮遠(yuǎn)，這給我們留下了p1和pm之間的一條直線，而不是一條弧。

對c2使用相同的方法得出：

選擇方向

現(xiàn)在我們需要選擇圍繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的方向。這取決于d1和d2的符號。對于正的情況，我們選擇繞圓較短的路徑。對于否定的情況，我們走更長的路。讓我們看一些例子。

這種情況類似于初始標(biāo)記圖中顯示的圖像。d1和d2均為陽性。第一個切線點(diǎn)朝向q1，第二個切線點(diǎn)遠(yuǎn)離q2。

這里我們有相同的端點(diǎn)，但是d1和d2是負(fù)數(shù)。第一個切線點(diǎn)遠(yuǎn)離q1，第二個切線點(diǎn)朝向q2。如你所見，我們沿著兩個圓圈走較長的路。

這個案子有點(diǎn)復(fù)雜。d1為負(fù)數(shù)，d2為正數(shù)。第一個切點(diǎn)遠(yuǎn)離q1，第二個切點(diǎn)遠(yuǎn)離q2。我們只走第一圈的長路。這導(dǎo)致灰線在下午折疊回自己。

最后一步是求解旋轉(zhuǎn)角。為了幫助解決這個問題，我們將定義×操作符，如下所示。

這就給了我們?nèi)S叉積的z分量。它相當(dāng)于∣a∣b∣sinα，其中α是向量a和向量b之間的角度。由于sin值，我們可以根據(jù)正或負(fù)結(jié)果來確定旋轉(zhuǎn)方向。

如果圓弧的半徑為零，則可以將角度設(shè)置為零。否則，計(jì)算如下：

選擇d1

選擇d1的值對biarc的形狀有很大的影響。負(fù)值將使其變長和彎曲。接近零的值將使第一個弧緊湊。有些值甚至可以創(chuàng)建沒有解決方案的案例。

例如，在右邊的圖像中，選擇了d1，使得q1位于通過第二個控制點(diǎn)的切線上。這導(dǎo)致連接點(diǎn)直接位于q2上，我們只能為第二個弧繪制一條直線。

通常，最好自動選擇d1值。最簡單可接受的方法是選擇一個使d1=d2的值。這將創(chuàng)建一條相當(dāng)平衡的曲線，并簡化了一些計(jì)算。把連接點(diǎn)方程中的d1換成d2，然后求解。

通常，最好自動選擇d1值。最簡單可接受的方法是選擇一個使d1=d2的值。這將創(chuàng)建一條相當(dāng)平衡的曲線，并簡化了一些計(jì)算。把連接點(diǎn)方程中的d1換成d2，然后求解。

案例1：

當(dāng)二次公式可計(jì)算時，一個解是正解，另一個解是負(fù)解。我們總是想要正解，因?yàn)樗砹溯^短的弧。分母總是正的，判別式將大于（v?t）2，所以選擇正數(shù)形式會得到一個正的結(jié)果。

案例2：

因?yàn)榍芯€是標(biāo)準(zhǔn)化的，所以所有輸入都創(chuàng)建一個大于或等于零的判別式。所以我們不需要擔(dān)心平方根。但是，當(dāng)切線相等時，分母可以計(jì)算為零。為了支持這種情況，我們可以再次求解d2。

案例3：

我們需要處理的最后一個邊情況發(fā)生在切線相等且v垂直于它們時。這將在情況2的解決方案中創(chuàng)建一個零分母，意味著d1和d2處于無限遠(yuǎn)的距離。這可以用兩個半圓來處理，如下所示：

總結(jié)

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