1 偏微分

在一元函數中的微分就是函數的切線：

其實這個空間曲線是 這個空間平面與 這個空間曲面的交線：我們就把這個切線稱為 對于 的偏微分。理解了這個，就可以舉一反三，所有 （ 為常數）的平面與 的交線都是滿足剛才說的特點：

這些交線上的點的切線都是 關于 的偏微分。

當然，如果 與 （ 為常數）得到的交線，這些交線的切線就是 關于 的偏微分。

總結，偏微分就是：

• 固定 ，變換 得到的就是 關于 的偏微分
• 固定 ，變換 得到的就是 關于 的偏微分

2 偏導數

偏微分理解了偏導數就好理解了，就是偏微分的斜率，現在你應該可以明白為什么我們在求 對于 的偏導數的時候，我們把 當作常數來看待了吧。

只是有一點需要說明，在三維空間中角度可以有不同的定義，計算斜率的時候我們是看下面這個 角：

總結，偏導數就是偏微分的斜率。

3 全微分

其實，不光是 或者 這樣的平面可以和 相交得到交線，所有和 平面垂直的平面都相交得到交線，這些交線都會有切線（微分）。

這個平面相交得到的交線：

這個平面也可以：

如果這些切線都存在，并且這些切線（無數條）還都在同一個平面上（平面不是曲面），那么得到的這個平面就是全微分（也叫做切平面，或者說切空間）：

總結，全微分就是：

• 360°微分都存在
• 并且這些微分要共面，得到的就是全微分

4 全微分與偏導數、偏微分的關系

根據全微分的定義，如果全微分存在，那么偏導數、偏微分一定存在。

但是反過來不一定成立，即偏導數、偏微分存在，全微分不一定存在。因為偏導、偏微分只是 或者 方向的導數、微分，而全微分要求的是360°無死角。

舉個例子，看這個 ：

我們考察這個函數在 點的全微分和偏微分的情況。

與 的交線是：

平面與曲面所交曲線與 軸重合：

在 點的微分（切線）很明顯，就是交線（ 軸）自身，因此關于 的偏微分存在。

但是 與 的交線是：

在 點形成了一個尖點，很顯然此時的微分不存在：

因此，全微分不存在。

總結，全微分與偏導數、偏微分的關系：

• 全微分存在偏導數、偏微分一定存在
• 偏導數、偏微分存在全微分不一定存在

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微分和导数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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