50年代開始,在國(guó)際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一臺(tái)奇怪有趣的數(shù)學(xué)問題:任意給定一臺(tái)自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對(duì)得數(shù)繼續(xù)進(jìn)行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會(huì)得出相同的結(jié)果.這個(gè)就是敘古拉猜想.上述變換,實(shí)際上是進(jìn)行下列函數(shù)的迭代{ x/2 (x是偶數(shù)) C(x)= 3x+1 (x是奇數(shù)) 問題是,從任意一臺(tái)自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價(jià)地說,最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是后來也有許多人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過同一臺(tái)問題,所以,從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭(zhēng)議,許多文獻(xiàn)稱之為3x+1問題.克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個(gè),人們認(rèn)為只要迭代過程持續(xù)足夠長(zhǎng),必定會(huì)碰到一臺(tái)2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那里掀起一股"3x+1問題"狂熱,不論是大學(xué)或是研究機(jī)構(gòu)都不同程度地卷入這一問題.許多數(shù)學(xué)家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.日本東京大學(xué)的米田信夫已經(jīng)對(duì)240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗(yàn).1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對(duì)5.6*1013的自然數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡(jiǎn)單,連小學(xué)生都能看懂的問題,卻難到了20世紀(jì)許多大數(shù)學(xué)家.著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時(shí)候,竟然冠以"不要試圖去解決這些問題"為標(biāo)題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家厄特希(P.Erdos)的說法:"數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題!"有人提議將3x+1問題作為下一臺(tái)費(fèi)爾馬問題.下面是我對(duì)克拉茨問題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)點(diǎn)規(guī)律,距離解決還很遙遠(yuǎn).克拉茨命題:設(shè) n∈N,并且 f(n)= n/2 (如果n是偶數(shù)) 或者 3n+1 (如果n是奇數(shù)) 現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)克拉茨命題的證明引理一:若n=2m,則fm(n)=1 (m∈N)證明:當(dāng)m=1時(shí),f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1時(shí),fk+1(n)=f(fk(2k+1))==f(2)=2/2=1.證畢.引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1) (k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.證明:證明是顯然的,省略.引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1) (m∈N), 則有fm+2k+3(n)=1.證明:省略.定理一:集合 O={X|X=2k-1,k∈N} 對(duì)于變換f(X)是封閉的.證明:對(duì)于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對(duì)于n=2k,經(jīng)過若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對(duì)于奇數(shù),首先要進(jìn)行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對(duì)于奇數(shù),肯定要進(jìn)行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152 2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 4 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 5 3k-1 2 5 8 6 3k-2 1 4 7 3k-1 2 8 3k-2 1 第一行(2k-1)經(jīng)過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實(shí)際上等于第一行加上一臺(tái)k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯(cuò)排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對(duì)于變換f(X)是封閉的.定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過若干次變換都會(huì)變成1.證明:我們看到 奇數(shù)經(jīng)過全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說不可能經(jīng)過全變換得到3k-2型數(shù).下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過全變換的性質(zhì),因?yàn)閷?duì)于其他偶數(shù)經(jīng)過若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來.我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過若干次全變換必然會(huì)在某一步變成偶數(shù).設(shè)2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過全變換變成3a0-1,假設(shè)它是一臺(tái)奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過若干次全變換過程如下:2k+1n-1 -> 3*2kn-1 -> 32*2k-1n-1 -> 33*2k-2n-1 ->... -> 3k+1n-1 (偶數(shù)).然后我們證明經(jīng)過全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過若干偶變換之后得到的奇數(shù).設(shè)3k+1n-1=2mh (h為奇數(shù)),我們要證明 h

總結(jié)

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