Zmn-0351 薛問天：再談數(shù)學概念的定義，評新華先生《0345》

【編者按。下面是薛問天先生發(fā)來的文章。是對《Zmn-0345》新華先生文章的評論。現(xiàn)在發(fā)布如下，供網(wǎng)友們共享。請大家關(guān)注并積極評論。另外本《專欄》重申，這里純屬學術(shù)討論，所有發(fā)布的各種意見僅代表作者本人，不代表本《專欄》編輯部的意見。】

再談數(shù)學概念的定義，

評新華先生《0345》

薛問天

xuewentian2006@

。

(一)，抽象的「有窮」和「無窮」不是數(shù)學概念 。

抽象的「有窮」和「無窮」不是數(shù)學概念 ，所以在數(shù)學中并沒有「有窮」和「無窮」的數(shù)學定義 。在數(shù)學中只有具體的「有窮集」和「無窮集」的概念，其它的「有窮小數(shù)」和「無窮小數(shù)」，以及「有窮序列」和「無窮序列」，「有窮枝」和「無窮枝」... 等數(shù)學概念都是在「有窮集」和「無窮集」定義的基礎(chǔ)上定義的數(shù)學概念 。例如「有窮小數(shù)」是小數(shù)點后的位數(shù)集是有窮集的小數(shù)，而「無窮小數(shù)」是小數(shù)點后的位數(shù)集是無窮集的小數(shù)。「有窮序列」是序列的項集是有窮集的序列，而「無窮序列」是序列的項集是無窮集的序列。「有窮枝」是結(jié)點集是有窮集的枝，而「無窮枝」是結(jié)點集是無窮集的枝，... 等。

在數(shù)學中任何概念，都不能按它的名稱的字面含義來理解，而要按它的定義鏈，一步步回溯弄清它的確切含義。那些用查漢語詞典或其它方法，了解詞匯的字面含義的語義學方法來學習數(shù)學，是絕對錯誤的。我反復強調(diào)上數(shù)學課不是上語文課。

例如，要了解數(shù)學概念「自然數(shù)」的含義，必須根據(jù)「自然數(shù)」的數(shù)學定義，而絕不是先去了解什么是「自然」，然后才能定義「自然數(shù)」。數(shù)學概念「無窮集」也一樣，有了上述認識，我想新華先生就不會提問這樣的問題: 【沒有「無窮」的定義，如何定義「無窮集」呢？】因為沒有「自然」的定義，完全可以用皮亞諾公理等方法定義自然數(shù)。同樣在數(shù)學中沒有「無窮」的定義，照樣可以用同自然數(shù)的一一對應(yīng)的方法來定義「無窮(可數(shù)無窮)集」！

新華先生說【「無窮」和「無窮集」是兩個不同的概念。】沒有錯，「無窮」不是數(shù)學概念，所以沒有數(shù)學定義。而「無窮集」是數(shù)學概念，所以有數(shù)學定義。

另外不要把「定義」同「概念屬性的解釋和說明」相混淆。【無窮是有限的不斷延伸，有始無終，】這只能是一種解釋和說明，不能作為數(shù)學定義，因為用語并不嚴格，是一種描述性的語言，不是有定義的數(shù)學語言。

我們的方法是用皮亞諾公理和集合論公理定義「自然數(shù)」和斷定它的存在，然后再用自然數(shù)和一一對應(yīng)定義「有窮集」和「無窮集」。這是嚴格的數(shù)學定義方法。

即【任意有窮集】指的就是存在一個n，能使其同集合｛0,1,2,...,n)建立一一對應(yīng)的集合。【無窮集(這里指的是可數(shù)無窮集)】，指的是能同全體自然數(shù)集N一一對應(yīng)的集合。從這個定義就可明顯區(qū)分【任意有窮集】同【無窮集】的不同。

潛無窮觀認為，由于任意自然數(shù)都可以通過“+1”而得到一個新的自然數(shù)，于是認為這個集合的【生成過程】永遠不會完成結(jié)束，所以認為自然數(shù)集不是一個確定的集合。

而實無窮觀認為，任何自然數(shù)+1還是自然數(shù)，沒有最大自然數(shù)，這只是自然數(shù)集的屬性，并不影響由所有的自然數(shù)構(gòu)成一個確定的數(shù)學對象，因而承認它是一個由所有自然數(shù)作為元素構(gòu)成的集合。它包括了所有產(chǎn)生的自然數(shù)，因而集合不會再增加新的自然數(shù)。這并不意味著集合中有最大自然數(shù)。

每個自然數(shù)n，都是有窮數(shù)，是指任何自然數(shù)n都可由0經(jīng)有窮次的+1運算而得到，不存在無窮自然數(shù)，也不存在最大自然數(shù)。但是所有自然數(shù)的集合卻是一個確定的數(shù)學對象:無窮集合。這就是實無窮觀對自然數(shù)和對所有自然數(shù)的集合的認識。

?(二、五)，要了解這里討論的來由。

?(1)，新華先生問【實際上從薛問天先生本意就是“區(qū)間(0,1)中不是有理數(shù)就是無理數(shù)”，干脆說“區(qū)間(0,1)挖去所有可數(shù)多個有理數(shù)，剩余的是不可數(shù)多個無理數(shù)”，何必要強調(diào)不可數(shù)多個無窮序列呢？】

【對于區(qū)間(0,1)中任意一個無理數(shù)，都有一個確定的對應(yīng)點，而這個確定的對應(yīng)點對應(yīng)的數(shù)值就是這個無理數(shù)，與不可數(shù)無窮多個無窮序列沒有任何關(guān)系，何必多此一舉呢？】

新華先生的提問，說明他不了解我們這里所討論的問題的來由。我們這里所討論的一切問題都是由黃汝廣先生提出的問題引起的。【何必要強調(diào)不可數(shù)多個無窮序列呢？】【何必多此一舉呢？】只有了解了問題的原由，才能知道為什么【何必】。

?(2)，事出有因，我們的討論是針對黃汝廣先生在《0308》中提出的一個【證明】。后經(jīng)《0311、0314、0316、0319、0321...》等一系列的討論。基本思路是這樣的。

黃汝廣先生認為，在區(qū)間(0,1)中挖去全部可數(shù)無窮個有理點后，剩余的是一個按某種編號規(guī)定用自然數(shù)編號的無窮序列，即有可數(shù)無窮個剩余部分。他證明其中每個部分都不可能是區(qū)間，而只能是空集或只包含一個無理數(shù)的集合。于是得出了剩下的是可數(shù)無窮多個無理數(shù)的結(jié)論。這與我們己知的剩余的應(yīng)是不可數(shù)無窮多個無理數(shù)的事實相矛盾。

這里的問題是黃先生的這個推論錯在哪里。我指出他的推理錯誤是，由于不同的編號規(guī)定會產(chǎn)生不同的無窮序列，所以這里剩余的不是黃先生所說的只有一個無窮序列，而是有不可數(shù)無窮多個這樣的無窮序列(因為有不可數(shù)無窮多種編號規(guī)定)，從而剩余的是不可數(shù)無窮多個無理數(shù)，而不是可數(shù)無窮多個無理數(shù)。

這里所說的按我們的編號規(guī)定形成的各無窮序列的各個項，可以嚴格證明，或者是空集或者是由一個無理數(shù)構(gòu)成的單個元素集。而挖去所有有理數(shù)后的剩余部分是所有這些無窮序列的項的并集，因而是不可數(shù)無窮多個無理數(shù)。把區(qū)間中全體無理數(shù)，看作是每個無理數(shù)構(gòu)成的單個元素集的并集，這并不影響無理數(shù)集的稠密性。

另外要解釋一下，在實數(shù)理論中的「稠密性:」和「連續(xù)性」有明確的定義，不要用字面上的稠密和連續(xù)的通常語義來理解和解釋。有理數(shù)集和無理數(shù)集只滿足稠密性但不滿足連續(xù)性，但實數(shù)集既滿足稠密性又滿足連續(xù)性。因而新華先生說【離散與連續(xù)是對應(yīng)的，是對立的概念，稀疏與稠密是對應(yīng)的，是對立的概念，稠密是建立在離散概念基礎(chǔ)上的，...】并不符合「稠密性」和「連續(xù)性」的數(shù)學定義。如果【稠密是建立在離散概念基礎(chǔ)上的】，怎么解釋「實數(shù)集既滿足稠密性又滿足連續(xù)性」，和「康托集是完備(連續(xù))的，卻不滿足稠密性」？

?(三)，關(guān)于【線段是無限可分的】

新華先生說【無窮多個有理數(shù)點只是相當于分點，線段是無限可分的，不會分到只剩下單個的點，否則，如果只剩下單個的點，就不能繼續(xù)分下去，只能是有限可分，線段就不是無限可分的。】

其實，【線段是無限可分的】并不是一個嚴格的數(shù)學用語，指的是「線段經(jīng)任意有窮次分割后，仍可繼續(xù)再分。」在我們這里相當于在說「單位開區(qū)間，挖掉任意有窮個分點后，剩余的仍是有窮個開區(qū)間，可以繼續(xù)再挖走區(qū)間中的分點。」并未涉及把全體有理數(shù)這無窮個點「挖完以后」的剩余情況。這里的【無限可分】說的是在「挖完以前」可以繼續(xù)再挖。事實是「挖完以后」所剩下的只是所有的無理數(shù)，而沒有可分的區(qū)間了。黃汝廣先生的推理中也己證明了這點。因為如果還有區(qū)間，區(qū)間中就還有有理數(shù)未被挖完。

?(四)，證明中的無窮序列和實數(shù)表示的【柯西序列】無關(guān)

新華先說【在證明中引入“最后剩余的部分是不可數(shù)無窮多個序列，而每個無窮序列的并集是空集或是一個無理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個無理數(shù)。”有這么意義呢？難道康托爾不是用無窮序列定義實數(shù)的嗎？從“最后剩余的部分是不可數(shù)無窮多個序列”到“而每個無窮序列的并集是空集或是一個無理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個無理數(shù)。”這難道與康托爾用“柯西序列”定義無理數(shù)沒有關(guān)系嗎？】

我這里證明中的無窮序列和實數(shù)表示的【柯西序列】，確實沒有任何關(guān)系。

在我的證明中，最后剩余的部分是不可數(shù)無窮多個無窮序列，而按照我的編號規(guī)定所生成的每個無窮序列的所有項中，頂多只有一個項(注。還可證對其它編號規(guī)定生成的無窮序列，其中頂多只有有窮個項)是一個無理數(shù)構(gòu)成的單個元素集，其它的項全部是空集。于是每個無窮序列的并集是空集或是一個(或有窮個)無理數(shù)，從而證明了最后剩余的是不可數(shù)多個無理數(shù)。也就是說，我這里的無窮序列的項全部是空集或頂多只有一個(或有窮個)無理數(shù)構(gòu)成的單個元素集。求的是這無窮多個集合(項)的并集，同極限概念無關(guān)。

而定義實數(shù)的「柯西序列」，是指任何一個有理數(shù)的柯西序列構(gòu)成一個無理數(shù)，柯西序列的項是有理數(shù)。另外，證明實數(shù)完備性(也稱連續(xù)性)是指，實數(shù)的任何「柯西序列」的極限是實數(shù)。柯西序列的項是實數(shù)。這同我們證明的無窮序列是兩碼事，根本沒有絲亳關(guān)系。

(五)，見(二、五)。

(六)，潛無窮觀者無法參與這些問題的討論。

新華先生說【我確實認為，「在區(qū)間(0,1)中挖去可數(shù)無窮多個全部有理數(shù)」是不可能的。】

如果認為區(qū)間(0,1)中的點由可數(shù)無窮個有理數(shù)點和不可數(shù)無窮個無理數(shù)點構(gòu)成，那么挖去可數(shù)無窮個有理數(shù)點后，自然就剩下不可數(shù)個無理點。我不認為這個理論有什么地方不能【接受客觀實際的檢驗】。潛無窮觀者連這些最基本的無窮集的并、交、差集的運算都不接受，實在是寸步難行，只好不參與這些問題的討論。兩種無窮觀無法通過討論求得共識。

(七)，關(guān)于無窮個閉集的并集可能不是閉集的例子。

這個例子源于教科書: 實變函數(shù)論(江澤堅)第34頁。可在網(wǎng)上在線閱讀。鏈接地址是:

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新華先生辯解說【...我在講這句話是有特定環(huán)境下的，是在區(qū)間 (0,1)中挖去可數(shù)無窮多個全部有理數(shù)情況下講的，這些有理數(shù)是離散的，每一 個有理數(shù)構(gòu)成點是閉集，它們是互不相交的，在這個前提下，顯然可數(shù)無窮多 個全部有理數(shù)集并集也是閉集。】

新華先生講的這句話仍然不對，你沒有證明，也證明不了【無窮個互不相交的閉集的并集一定是閉集】。仍然存在無窮個互不相交的閉集的并集可能不是閉集的例子。實際上，區(qū)間中全體有理數(shù)集并不是閉集。因為任何一個無理數(shù)都是有理數(shù)集的聚點，但是它并不屬于有理數(shù)集，可見有理數(shù)集并不是閉集。

(1,2,3)，關(guān)于集合的并、交運算及無窮個集合的并交運算都有嚴格的數(shù)學定義。這里并不需要極限，而∞也只是個符號，運算結(jié)果都是確定的集合，用等號并無任何【不妥】。詳細定義內(nèi)容可參閱《實變函數(shù)論(江澤堅)》第1章。

(4)，在例子中，可按定義嚴格推出這無窮個閉區(qū)間的并是開區(qū)間，這無窮個開區(qū)間的交是閉區(qū)間。這里的推理是嚴格的。你之所以感到【反常】，【不可思議】和【無法解釋清楚】，是因為你沒有搞清楚什么是無窮個集合的交同并的運算的定義。當你把運算結(jié)果的含義想清楚了，上述結(jié)論就是顯而易見的事。

(5)，新華先生畫的是區(qū)間端點的圖，而應(yīng)進一步畫出相應(yīng)區(qū)間[1/n,1-1/n]的圖來。要使下端奌小于上端點，這里要求n＞2，即從下端點y=1/n到上端點y=1-1/n畫一條線表示區(qū)間。隨著n的增大區(qū)間在不斷加長。結(jié)果區(qū)間應(yīng)是這些無窮個閉區(qū)間的并。顯然(0,1)中的任何點，都存在n使此點在相應(yīng)的閉區(qū)間之中。正因為端點曲線同漸近線y=0,y=1永不相交，對任何n，相應(yīng)的區(qū)間都達不到，即不可能包括0和1。所以結(jié)果區(qū)間(并)不包括0和1，是個開區(qū)間(0,1)。

同理，無窮個開區(qū)間(-1-1/n，1+1/n)都包括-1和1，所以它們的交即結(jié)果區(qū)間，是閉區(qū)間[-1，1]。這完全經(jīng)得起【實踐的檢驗】。新華先生之所以覺得【結(jié)論不符合客觀存在的事實，是很不妥的；】是因為沒有搞清楚這無窮個區(qū)間的并和交的實際含義。

(6)，新華先生說【我是喜歡看書的】。這點我很欣賞。特推薦《實變函數(shù)論(江澤堅)》一書供新華先生參考。我認為【不迷信書】，【不是一味的囫圇吞棗的接收】這些都是對的。但是另一方面也要強調(diào)認真讀書，特別是數(shù)學專業(yè)書，要一個字一個字的讀。力求讀懂，了解作者的本意。不要還沒讀清楚就作評論，而應(yīng)是在正確理解后再作評論。把自己的評論建立在堅實的基礎(chǔ)之上。

?(八)，其它幾個問題。

(1)，關(guān)于勒貝格測度。

新華先生說【...如果僅僅談點，線上任意兩點間都有無窮多個點，這無窮多個點都沒有長度，如何能夠構(gòu)成兩點間距離呢？勒貝格測度理論得到(0,1)里所有有理數(shù)的測度為 0，是用直接法證明的，為什么不用同樣的方法去證明(0,1)里所有無理數(shù)的測度為 1 呢？不可測集實際就是一個悖論，它充分表明勒貝格測度理論也不盡完善。】

「長度」是對區(qū)間而言的，而「測度」是「長度」概念的拓展，使得除區(qū)間有「測度」外，一般的構(gòu)不成區(qū)間的點集也有「測度」，而且希望能有同「長度」同樣的規(guī)則。如對于區(qū)間的長度，下述規(guī)則成立。任何互不相交的有限或可數(shù)無窮多個區(qū)間并集的總長度等于各區(qū)間長度之和。那么對一般點集的測度來說，是否有同樣的規(guī)則呢？即是否有「任何互不相交的有限或可數(shù)無窮多個點集的并集的總測度等于各點集的測度之和。」實際證明這是不可能的，無論如何定義測度，都辦不到這點，這就是因為存在有所謂的「不可測集」。排除掉不可測集，上述規(guī)則就可成立。這就是勒貝格測度。因而存在不可測集并不是什么【悖論】，也不是勒貝格測度理論【不盡完善】，而是【理論要接受實際的檢驗】，不能隨心所欲，讓理論做實際辦不到的事。正因為勒貝格測度堅持上述規(guī)則，「任何互不相交的有限或可數(shù)無窮多個點集的并集的總測度等于各點集的測度之和」，才推出由全部可數(shù)無窮個測度為0的有理數(shù)組成的點集的測度為0，再根據(jù)區(qū)間[0,1]的測度等于1，以及區(qū)間這個點集是其中的全體有理數(shù)集和全體無理集的并集，顯然就可得出由區(qū)間中全體不可數(shù)無窮多個無理數(shù)構(gòu)成的點集的測度等于1。這一切都是順理成章的事，合乎邏輯沒有矛盾，沒有什么【不可思議】。

(2)，關(guān)于超實數(shù)。

新華先生說【超實數(shù)理論的出現(xiàn)就是認為實數(shù)表示的點不能構(gòu)成有長度的區(qū)間，而用非標準數(shù)來填充實數(shù)之間的“隙縫”，是對點構(gòu)成線的理論的挑戰(zhàn)。】

事實并非如此。新華先生這么說，給不出具體論證，純屬主觀猜想，毫無根據(jù)。超實數(shù)不是這個意思。

?(3)，關(guān)于開區(qū)間和閉區(qū)間，稠密性和連續(xù)性。

新華先生說區(qū)間中的無理數(shù)是【稠密地分布在區(qū)間中的，但是并不連續(xù)，】這句話是對的。但是說【即使填入挖去的有理數(shù)也不能構(gòu)成連續(xù)的區(qū)間】，沒有說清楚原因。應(yīng)在后面補上半句「再補上區(qū)間的兩個端點，成為閉區(qū)間，就具有連續(xù)性了。」

新華先生說的【連續(xù)是沒有“隙縫”的】，這只是一個直觀的說明和解釋，而不是連續(xù)性的數(shù)學定義。連續(xù)性也叫完備性，可以這樣定義。「稱一個點集是完備的(即連續(xù)的)，當且僅當點集的所有聚點屬于該點集而且點集的所有點都是聚點。」在上述例子中，因為區(qū)間的點全是聚點，而且端點也是聚點，閉區(qū)間的端點屬于區(qū)間，而開區(qū)間的端點不屬于區(qū)間，說明閉區(qū)間[0,1]具有完備性，而開區(qū)間(0,1)不具有完備性。

新華先生說【既然認為區(qū)間是由點構(gòu)成，如果將區(qū)間[0，1]去掉端點 0 和 1，就必然會有點來補充作為去掉點 0 和 1 的區(qū)間的端點，因為所有點都是平等的，既然有點來充當區(qū)間的端點，必然還是閉區(qū)間，為什么還要用(0，1)來表述成開區(qū)間呢？難道這不令那些認為點構(gòu)成線的人深思嗎？】

如果將閉區(qū)間[0，1]去掉端點 0 和 1，就是開區(qū)間(0,1)。如果再補上端點0和1，自然就又成閉區(qū)間[0,1]了。不知新華先生的問題在哪里，一個線段包含端點稱為閉區(qū)間，不包含端點稱為開區(qū)間。不知這有什么可深思的問題？

(全文完)

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